จากภาพที่ให้มา เป็นการอธิบายฟังก์ชันอรรถประโยชน์ (utility function) ในลักษณะทางเศรษฐศาสตร์เชิงพลวัต โดยรายละเอียดสำคัญสามารถอธิบายได้ดังนี้:

1. ฟังก์ชันอรรถประโยชน์:

• ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ $U(C_0, C_1, \dots, C_T)$ แสดงถึงผลรวมของอรรถประโยชน์จากการบริโภค $C_t$ ในช่วงเวลาต่าง ๆ $t$ โดยใช้น้ำหนักลดค่า (discount factor) $\beta^t$ ซึ่ง $\beta$ อยู่ในช่วง $(0,1)$ แสดงถึงการให้ค่าความสำคัญในอนาคตน้อยกว่าปัจจุบัน

$U(C_0, C_1, \dots, C_T) = \sum_{t=0}^T \beta^t u(C_t)$

• $\beta$ เป็นตัวแปรลดค่าที่สะท้อนความสำคัญของการบริโภคในอนาคต

2. ทรัพยากรในช่วง $t=0$:

• $x_1 = (1+y)(x + y_0 - C_0)$: เป็นสมการที่อธิบายสินทรัพย์ (resources) ที่เหลือในช่วงแรก ($t=1$) โดยใช้:
  • $y$: ผลตอบแทนจากการลงทุน
  • $x + y_0 - C_0$: ทรัพยากรในช่วง $t=0$ หลังจากหักการบริโภค $C_0$

3. ความไม่แน่นอนในช่วง $t=1$:

• ในช่วงนี้ มีการแนะนำความไม่แน่นอนของรายได้ ($\tilde{y}_1$) และการบริโภค ($\tilde{C}_1$):

  $x_2 = (1+r)(x_1 + \tilde{y}_1 - \tilde{C}_1)$

  • $x_2$: สินทรัพย์ที่เหลือในช่วงต่อมา ($t=2$)
  • $r$: อัตราดอกเบี้ย
  • $\tilde{C}_1 = x_1 + \tilde{y}_1$: การบริโภคที่กำหนดตามสินทรัพย์รวมรายได้

4. ข้อสมมติในสมการ:

• สมมติว่าในแต่ละช่วงเวลา ทรัพยากรจะถูกกระจายหรือใช้ตามผลรวมสินทรัพย์ที่มีอยู่บวกกับรายได้ที่ไม่แน่นอน

---

คำถามที่อาจเกี่ยวข้อง:

1. อรรถประโยชน์ที่เป็นฟังก์ชัน $u(C_t)$ มีลักษณะสมมติอย่างไร? (เช่น logarithmic หรือ quadratic)
2. ความไม่แน่นอน $\tilde{y}_1$ สามารถนำมาคำนวณค่าคาดหวัง (expected value) ได้อย่างไร?
3. ทำไม $\beta$ ต้องอยู่ในช่วง $(0,1)$ และมีความหมายอย่างไรต่อผลรวมอรรถประโยชน์?
4. ผลตอบแทน $y$ และอัตราดอกเบี้ย $r$ มีผลต่อการกระจายทรัพยากรอย่างไร?
5. หากต้องการคำนวณอรรถประโยชน์ทั้งหมด ต้องรู้พฤติกรรมการบริโภค $C_t$ ในลักษณะใด?

เคล็ดลับ:

การวิเคราะห์ฟังก์ชันอรรถประโยชน์ควรพิจารณาค่าความไม่แน่นอนและผลกระทบในระยะยาวผ่านการใช้เครื่องมือ เช่น การหาค่า $\mathbb{E}[x]$ หรือการวิเคราะห์เชิงพลวัต