Math Problem Statement

écrire a l’aide de quantificateur aucun entier n’est supérieure à tous les autres

Solution

Pour exprimer la phrase "aucun entier n'est supérieur à tous les autres" à l'aide de quantificateurs, on peut écrire la formulation mathématique suivante :

nZ,mZ tel que m>n\forall n \in \mathbb{Z}, \exists m \in \mathbb{Z} \text{ tel que } m > n

Explication :

  • nZ\forall n \in \mathbb{Z} signifie "pour tout entier nn".
  • mZ tel que m>n\exists m \in \mathbb{Z} \text{ tel que } m > n signifie "il existe un entier mm tel que mm est supérieur à nn".

Cette expression traduit l'idée qu'il n'existe pas d'entier maximal, c'est-à-dire que pour tout entier nn, il existe toujours un autre entier mm qui lui est supérieur.

Souhaitez-vous plus de détails sur cette notation ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

  1. Comment exprimerait-on "il existe un entier qui est supérieur à tous les autres" avec des quantificateurs ?
  2. Comment écrire la même idée en utilisant des entiers positifs seulement (N\mathbb{N}) ?
  3. Quelle est la différence entre \forall et \exists dans une phrase avec des quantificateurs ?
  4. Comment pourrait-on reformuler cette idée dans d'autres structures, comme les nombres réels (R\mathbb{R}) ?
  5. Pourquoi est-il impossible de trouver un entier maximal dans Z\mathbb{Z} ?

Astuce : En logique mathématique, il est crucial de bien comprendre la portée des quantificateurs (\forall et \exists) pour traduire précisément des énoncés mathématiques.

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∀n ∈ ℤ, ∃m ∈ ℤ such that m > n

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