Claro! Vamos explicar a parte dos quantis com mais detalhe para que compreendas melhor.

Passo 2: Obtenção dos quantis de probabilidade

Este passo foca-se em determinar os limites do intervalo de confiança, ou seja, os valores que definem o intervalo em que esperamos encontrar a média populacional ($\mu$) com 95% de confiança.

O que significa isso?

1. Confiança de 95%:

   • Isto implica que 95% das observações devem estar dentro de um intervalo específico em torno da média estimada ($\bar{X}$).
   • Restam 5% fora do intervalo — divididos em 2.5% abaixo do limite inferior e 2.5% acima do limite superior.

2. Distribuição Normal Padrão ($Z$):

   • Quando estandardizamos os dados (como mostrado no Passo 1), obtemos uma variável normal padrão $Z$, que tem média 0 e desvio-padrão 1.
   • A questão é agora encontrar os valores de $Z$ que correspondem a 2.5% à esquerda e 2.5% à direita da distribuição.

Como obter os quantis?

• Os valores que cortam 2.5% (esquerda) e 97.5% (direita) da distribuição são chamados de quantis:

  • $a_\alpha = Z^{-1}(0.025)$, para 2.5%.
  • $b_\alpha = Z^{-1}(0.975)$, para 97.5%.

• Usamos tabelas de distribuição normal (ou calculadoras) para encontrar:

  • $Z^{-1}(0.025) = -1.96$ (limite inferior);
  • $Z^{-1}(0.975) = +1.96$ (limite superior).

O que significam $a_\alpha$ e $b_\alpha$?

Eles são os valores de $Z$ que determinam a região de confiança: $P(a_\alpha \leq Z \leq b_\alpha) = 1 - \alpha = 95\%$

No contexto do problema, isso equivale a dizer: $P\left(-1.96 \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \leq 1.96 \right) = 0.95$

Este intervalo será usado no Passo 3 para reverter a desigualdade e encontrar o intervalo de confiança para $\mu$.

Se precisares de mais detalhes ou explicação de outra parte, avisa! 😊

Perguntas Relacionadas:

1. O que significa o valor crítico de $Z = 1.96$ para um intervalo de confiança de 95%?
2. Por que se dividem os 5% de erro em dois intervalos de 2.5%?
3. Como calcular os valores críticos se a distribuição não for normal?
4. O que acontece com os quantis se quisermos um intervalo de confiança de 99%?
5. Como se relaciona a fórmula do intervalo com a variância da amostra?

Dica:

Quando usares tabelas da normal padrão, lembra-te de que os valores dados são áreas acumuladas à esquerda. Por isso, para 0.975, procuras diretamente esse valor na tabela!