Math Problem Statement
نوع عدم الاتصال في الدالة الممثلة في الشكل عند x=1.5
Solution
في الصورة المعروضة، لدينا دالة معطاة بشكل قطعي (Piecewise Function). معادلة الدالة كما هو موضح:
\begin{cases} \frac{x^2 - 2.25}{x - 1.5} & x \neq 1.5 \\ 1.5 & x = 1.5 \end{cases}$$ **السؤال:** ما نوع عدم الاتصال في الدالة عند $$x = 1.5$$؟ ### تحليل الدالة: - **لـ $$x \neq 1.5$$**: المعادلة تعطي دالة ذات كسر. لكن يمكننا تبسيط هذه الدالة عندما نقوم بتحليل البسط: $$x^2 - 2.25 = (x - 1.5)(x + 1.5)$$ وبالتالي: $$\frac{x^2 - 2.25}{x - 1.5} = \frac{(x - 1.5)(x + 1.5)}{x - 1.5}$$ إذا كانت $$x \neq 1.5$$، يمكن تبسيط هذه الدالة إلى: $$f(x) = x + 1.5$$ ولكن عند $$x = 1.5$$، يكون المقام صفراً، مما يؤدي إلى وجود عدم اتصال (Undefined) عند هذه النقطة. - **عند $$x = 1.5$$**: الدالة معرّفة بشكل مختلف وتعطي القيمة $$f(1.5) = 1.5$$. ### نوع عدم الاتصال: - عندما نحسب النهاية اليمنى واليسرى للدالة عند $$x = 1.5$$، نجد أن: $$\lim_{x \to 1.5^-} f(x) = 1.5 + 1.5 = 3$$ $$\lim_{x \to 1.5^+} f(x) = 1.5 + 1.5 = 3$$ بينما: $$f(1.5) = 1.5$$ - بما أن النهاية عند $$x = 1.5$$ لا تساوي قيمة الدالة عند تلك النقطة، فإن نوع عدم الاتصال هو **عدم اتصال قابل للإزالة (Removable Discontinuity)**. **هل ترغب في المزيد من التفاصيل أو لديك أي استفسارات؟** --- **أسئلة متعلقة:** 1. كيف يمكن تعديل الدالة لجعلها متصلة عند $$x = 1.5$$؟ 2. ما هو الفرق بين أنواع عدم الاتصال المختلفة (قابل للإزالة، قفزي، وغير قابل للإزالة)؟ 3. كيف يمكنك التحقق من وجود عدم اتصال عند نقطة معينة باستخدام الحدود؟ 4. كيف يؤثر عدم الاتصال على اشتقاق الدالة عند تلك النقطة؟ 5. ما أهمية تحليل الدوال القطعية (Piecewise Functions) في دراسة السلوك المحلي للدوال؟ **نصيحة:** عند دراسة الدوال القطعية وتحليل الاتصال، تأكد من حساب النهاية عند النقاط الحرجة ومقارنتها بالقيمة الفعلية للدالة للتأكد من نوع عدم الاتصال.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Piecewise functions
Limits
Types of discontinuities
Formulas
Piecewise function definition
Theorems
Limit definition
Suitable Grade Level
Advanced High School
Related Recommendation
Understanding Discontinuity in Piecewise Functions: Example and Analysis
Determine the Type of Discontinuity at x=0 for a Piecewise Function
Understanding Piecewise Function Discontinuity at x = 1
Piecewise Function f(x) = 5/x for x > 5 and x - 4 for x ≤ 5
Piecewise Function and Limit Analysis at x = -2