Math Problem Statement

Diketahui f(g(x)) = 4x²- 2 dan g(2x + 1) = 4x + 1. f(x)= x-2 dan g(x)= ​2x-1. ​Jika domain f(x) adalah (x ≥0), manakah pernyataan berikut yang benar?

(1) f⁻¹(2)=1

(2) (f⁻¹○g)(0) = 0

Solution

Mari kita analisis pernyataan yang diberikan setelah mengetahui bentuk fungsi f(x)f(x) dan g(x)g(x).

Diketahui:

  • f(x)=x2f(x) = x - 2
  • g(x)=2x1g(x) = 2x - 1
  • f(g(x))=4x22f(g(x)) = 4x^2 - 2
  • g(2x+1)=4x+1g(2x + 1) = 4x + 1

Dengan informasi ini, kita dapat mengevaluasi pernyataan (1) dan (2).

Pernyataan (1): f1(2)=1f^{-1}(2) = 1

Untuk mencari f1(x)f^{-1}(x), kita perlu menyelesaikan f(x)=yf(x) = y untuk xx.

Diketahui f(x)=x2f(x) = x - 2.

Jadi, kita selesaikan persamaan berikut untuk mendapatkan inversnya: y=x2    x=y+2y = x - 2 \implies x = y + 2 Jadi, fungsi inversnya adalah: f1(y)=y+2f^{-1}(y) = y + 2 Sekarang, kita evaluasi untuk f1(2)f^{-1}(2): f1(2)=2+2=4f^{-1}(2) = 2 + 2 = 4 Jadi, pernyataan f1(2)=1f^{-1}(2) = 1 adalah salah karena f1(2)=4f^{-1}(2) = 4.

Pernyataan (2): (f1g)(0)=0(f^{-1} \circ g)(0) = 0

Kita akan evaluasi (f1g)(0)(f^{-1} \circ g)(0). Ini berarti kita pertama-tama menghitung g(0)g(0), kemudian menghitung f1f^{-1} dari hasilnya.

Pertama, hitung g(0)g(0): g(0)=2(0)1=1g(0) = 2(0) - 1 = -1 Sekarang, kita hitung f1(1)f^{-1}(-1): f1(1)=1+2=1f^{-1}(-1) = -1 + 2 = 1 Jadi, pernyataan (f1g)(0)=0(f^{-1} \circ g)(0) = 0 juga salah karena hasilnya adalah 1, bukan 0.

Kesimpulan:

Kedua pernyataan (1) dan (2) adalah salah.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan tambahan?

5 Pertanyaan Tambahan:

  1. Bagaimana cara menyelesaikan invers fungsi yang lebih kompleks?
  2. Apa arti dari komposisi fungsi dan bagaimana cara menerapkannya?
  3. Mengapa penting untuk selalu memeriksa hasil dari invers fungsi?
  4. Bagaimana pengaruh domain pada solusi dari fungsi dan inversnya?
  5. Bagaimana langkah-langkah sistematis untuk menemukan invers dari fungsi linier dan kuadrat?

Tip:

Selalu periksa kembali langkah-langkah dalam menghitung invers dan komposisi fungsi, terutama ketika domainnya dibatasi, untuk memastikan tidak ada kesalahan perhitungan.