Untuk memecahkan masalah ini, mari kita analisis langkah-langkah berikut:

1. Sketsa daerah pengintegralan: Integral yang diberikan dalam bentuk kartesian: $\int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dz \, dy \, dx$ menjelaskan bahwa:

   • Variabel $x$ berkisar dari $-1$ hingga $1$.
   • Untuk setiap nilai $x$, $y$ berkisar dari $0$ hingga $\sqrt{1-x^2}$, yang membentuk seperempat lingkaran di bidang $xy$ (karena $y \geq 0$).
   • Untuk setiap nilai $x, y$, $z$ berkisar dari $\sqrt{x^2+y^2}$ hingga $\sqrt{2-x^2-y^2}$, yang merepresentasikan batas bawah dan atas dalam koordinat kartesian.

   Visualisasi:

   • Secara geometris, ini merepresentasikan seperempat bagian bola dengan radius maksimum $\sqrt{2}$ di atas bidang $xy$, dimulai dari permukaan kerucut $z = \sqrt{x^2 + y^2}$.

---

2. Ubah ke sistem koordinat bola: Dalam sistem koordinat bola:

   • $x = \rho \sin\phi \cos\theta$,
   • $y = \rho \sin\phi \sin\theta$,
   • $z = \rho \cos\phi$, dengan $\rho$ adalah jarak radial, $\phi$ adalah sudut elevasi dari sumbu $z$, dan $\theta$ adalah sudut azimut di bidang $xy$.

   Batas integral:

   • $0 \leq \rho \leq \sqrt{2}$ (radius bola maksimum).
   • $0 \leq \phi \leq \pi/4$ (karena $z \geq \sqrt{x^2 + y^2}$, sudut $\phi$ dibatasi oleh kerucut).
   • $0 \leq \theta \leq \pi/2$ (karena hanya seperempat bagian di atas bidang $xy$).

   Integral berubah menjadi: $\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^3 \, \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta.$

---

3. Hitung integral: Hitung integral dengan langkah berikut:

   • Integral terhadap $\rho$: $\int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^3 \, d\rho = \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^4}{4} - 0 = \frac{4}{4} = 1.$
   • Integral terhadap $\phi$: $\int_{0}^{\pi/4} \sin\phi \, d\phi = \left[-\cos\phi\right]_{0}^{\pi/4} = -\cos(\pi/4) + \cos(0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1.$
   • Integral terhadap $\theta$: $\int_{0}^{\pi/2} d\theta = \theta \big|_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}.$

   Gabungkan semuanya: $\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^3 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = 1 \cdot \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{2}.$

   Hasil akhir: $\frac{\pi}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

---

Apakah Anda ingin sketsa visualisasi untuk mempermudah pemahaman, atau ada bagian yang perlu diperjelas? Berikut pertanyaan terkait:

1. Apa langkah yang paling membingungkan dalam konversi ke koordinat bola?
2. Apakah Anda ingin bantuan menggambarkan sketsa kerucut atau bola dalam 3D?
3. Apakah Anda ingin eksplorasi integral serupa dalam koordinat lainnya (silinder)?
4. Bagaimana proses substitusi batas dipahami dalam integral ini?
5. Apa metode lain yang dapat digunakan untuk memeriksa hasil integral ini?

Tip: Dalam sistem koordinat bola, penting untuk memahami hubungan antara radius, sudut elevasi, dan sudut azimut agar dapat memahami batas geometris secara lebih intuitif.