Рассмотрим уравнение:

$\sin x = \frac{1}{2}$

1. Определяем основные углы

Функция $\sin x$ принимает значение $\frac{1}{2}$ при определённых значениях угла. Из тригонометрической таблицы известно:

$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

Но синус положителен в первой и второй четвертях, поэтому рассматриваем два решения в интервале $[0, 2\pi]$.

2. Учитываем вторую четверть

Во второй четверти угол находится по формуле:

$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Таким образом, два основных решения уравнения:

$x_1 = \frac{\pi}{6}, \quad x_2 = \frac{5\pi}{6}$

3. Общее решение

Так как синус – периодическая функция с периодом $2\pi$, общее решение имеет вид:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Это объясняет появление угла $\frac{5\pi}{6}$ в решении.

---

Хотите подробности по другому тригонометрическому уравнению?

5 связанных вопросов:

1. Почему $\sin (\pi - \alpha) = \sin \alpha$?
2. Как найти решения уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$?
3. Как вывести общее решение для $\sin x = a$ в общем виде?
4. Как решать уравнения с косинусом, например, $\cos x = \frac{1}{2}$?
5. Как использовать единичную окружность для поиска решений тригонометрических уравнений?

🔢 Совет:

Если запомнить, что $\sin$ одинаков в первой и второй четвертях, а $\cos$ — в первой и четвёртой, можно легко находить корни тригонометрических уравнений!