Дано:

• Основание прямой треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ — треугольник $ABC$.
• Грань $AA_1C_1C$ является квадратом.
• Диагонали $AB_1$ и $A_1C$ перпендикулярны.
• $BC = 12$, $AC = 17$.

а) Доказательство, что $\angle ABC = 90^\circ$:

1. Так как грань $AA_1C_1C$ — квадрат, значит $AA_1 = AC = CC_1$ и все углы этой грани прямые.
2. Диагонали $AB_1$ и $A_1C$ перпендикулярны. Это возможно только тогда, когда треугольник $ABC$ прямоугольный, а угол между сторонами $AB$ и $BC$ равен $90^\circ$.
3. Следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$.

---

б) Найдём расстояния $CA_1$ и $AB_1$:

1. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $B$, $AC$ — гипотенуза.

2. По теореме Пифагора:
   $AB = \sqrt{AC^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 12^2} = \sqrt{289 - 144} = \sqrt{145} \approx 12.04$

3. Грань $AA_1C_1C$ — квадрат, значит $AA_1 = AC = 17$.

4. Диагональ квадрата:
   $AC_1 = AA_1 \cdot \sqrt{2} = 17 \sqrt{2} \approx 24.04$

5. Поскольку диагонали $AB_1$ и $A_1C$ перпендикулярны, они равны по длине:
   $AB_1 = AC_1 = 17 \sqrt{2} \approx 24.04$

---

Ответ:

а) $\angle ABC = 90^\circ$.
б) $CA_1 = AB_1 = 17\sqrt{2} \approx 24.04$.

---

Есть ли у вас вопросы или хотите подробнее разобрать решение?

5 дополнительных вопросов:

1. Как найти объем данной треугольной призмы?
2. Какой периметр основания призмы?
3. Найти площадь боковой поверхности призмы.
4. Как изменится ответ, если грань $AA_1C_1C$ будет прямоугольником?
5. Вычислить длину диагонали всей призмы.

Совет:

При решении задач с прямоугольными треугольниками всегда проверяйте возможность применения теоремы Пифагора для упрощения вычислений.