Tienes razón en cuestionar la semejanza entre los triángulos $\Delta ABC$ y $\Delta EFG$, ya que en este caso no podemos asumir directamente que son semejantes. Vamos a replantear el problema y enfocarnos en una estrategia distinta.

Análisis geométrico:

1. Puntos y segmentos importantes:

   • El punto $E$ divide la altura $AD$ en dos partes iguales, es decir, $AE = ED$.
   • El punto $F$ divide el segmento $BE$ en dos partes iguales, es decir, $BF = EF$.
   • El punto $G$ divide el segmento $CF$ en dos partes iguales, es decir, $CG = GF$.

2. Simetría del problema: Aunque no podemos decir directamente que el triángulo $EFG$ es semejante al triángulo $ABC$, podemos observar que el triángulo $EFG$ se forma a través de divisiones simétricas dentro del triángulo $ABC$. Esto sugiere que el triángulo $EFG$ comparte cierta relación proporcional con el triángulo $ABC$.

3. Uso de coordenadas o áreas relativas:

   • Para encontrar el área de $\Delta EFG$, podemos utilizar un enfoque basado en división de áreas o geometría analítica (si colocamos coordenadas en los puntos).
   • En lugar de asumir semejanza, vamos a utilizar la propiedad de divisiones sucesivas de áreas para calcular el área del triángulo $EFG$.

Solución mediante áreas relativas:

Cada punto divide un segmento en mitades. Por lo tanto, cada vez que introducimos una nueva división, estamos reduciendo el área del triángulo resultante.

1. Primera división:

   • El punto $E$ divide el segmento $AD$ en dos partes iguales. Esto divide el triángulo $ABC$ en dos triángulos más pequeños: uno con vértice en $E$ y otro con vértice en $D$. La relación de áreas entre estos dos triángulos es 1:1, es decir, cada uno tiene la mitad del área total.

2. Segunda división:

   • El punto $F$ divide el segmento $BE$ en dos partes iguales. Aquí, al dividir nuevamente el triángulo que contiene a $B$, reducimos su área en la mitad. Así que el triángulo $BEF$ tiene un área igual a la mitad del triángulo correspondiente que incluía a $B$.

3. Tercera división:

   • Finalmente, el punto $G$ divide el segmento $CF$ en dos partes iguales. Esto reduce nuevamente el área del triángulo que contiene a $C$.

Conclusión:

Dado que cada una de las divisiones que hemos realizado reduce el área del triángulo en sucesivas mitades, el área del triángulo $EFG$ resulta ser una octava parte del área total del triángulo $ABC$.

Por lo tanto, el área del triángulo $EFG$ es $\frac{1}{8}$ del área del triángulo $ABC$: $\text{Área de } \Delta EFG = \frac{1}{8} \times 36 = 4.5.$

El área del triángulo $EFG$ es $\boxed{4.5}$.

¿Te gustaría discutir más sobre este enfoque o tienes alguna otra pregunta?

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4. ¿Qué ocurre si las divisiones no son simétricas?
5. ¿Cómo podríamos resolver este problema utilizando coordenadas?

Tip: Cuando trabajes con divisiones simétricas en geometría, considera que la relación de áreas a menudo se simplifica usando fracciones de áreas, no semejanzas directas.