En un triángulo ABC sea AD la altura trazada desde A. Consideramos el punto E del
segmento AD tal que AE = DE, el punto F del segmento BE tal que BF = EF y el punto G del segmento
CF tal que CG = FG. Si el área del triángulo ABC es igual a 36, calcular el área del triángulo EFG.

Dado un triángulo \( ABC \) con \( AD \) como la altura trazada desde \( A \), y considerando los puntos \( E \), \( F \) y \( G \) descritos en el problema, la tarea es calcular el área del triángulo \( EFG \).

### Paso 1: Relación de las áreas
Dado que \( AE = DE \), el punto \( E \) divide la altura \( AD \) en dos partes iguales. Como \( F \) divide \( BE \) en dos partes iguales, y \( G \) divide \( CF \) en dos partes iguales, podemos deducir que los triángulos involucrados son similares o proporcionales en sus áreas.

### Paso 2: Uso de la homotecia
El triángulo \( EFG \) es homotético al triángulo \( ABC \) por un factor que es el producto de las razones de división de los segmentos \( AD \), \( BE \) y \( CF \).

1. La razón de división de \( AD \) por \( E \) es \( 1/2 \).
2. La razón de división de \( BE \) por \( F \) es \( 1/2 \).
3. La razón de división de \( CF \) por \( G \) es \( 1/2 \).

Por lo tanto, el factor de homotecia total es:
\[
\text{Factor total} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
\]

### Paso 3: Cálculo del área de \( \triangle EFG \)
El área del triángulo \( EFG \) es igual al área del triángulo \( ABC \) multiplicada por el cuadrado del factor de homotecia:
\[
\text{Área de } \triangle EFG = \text{Área de } \triangle ABC \times \left(\frac{1}{8}\right)
\]
Dado que el área del triángulo \( ABC \) es 36, tenemos:
\[
\text{Área de } \triangle EFG = 36 \times \frac{1}{8} = 36 \times 0.125 = 4.5
\]

Por lo tanto, el área del triángulo \( EFG \) es \( \boxed{4.5} \).

¿Te gustaría obtener más detalles sobre cómo se deriva este resultado o tienes alguna otra pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan las áreas de triángulos en casos con otras relaciones de segmentos?
2. ¿Qué es la homotecia y cómo se aplica en geometría?
3. ¿Cómo afecta la simetría en la determinación de áreas en geometría?
4. ¿Cómo se pueden usar vectores para resolver problemas de geometría como este?
5. ¿Qué otros métodos podrían utilizarse para resolver este problema sin homotecia?

**Tip:** En geometría, la homotecia es una herramienta poderosa para resolver problemas de proporcionalidad y similitud entre figuras.

Learn how to calculate the area of triangle EFG when triangle ABC has an area of 36. This problem involves concepts of geometry, similarity, and homothety. Step-by-step solution provided.

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