Chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.

a) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle ACD$

Ta có:

• $D$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow BD = DC$.
• $AB = AC$ (giả thiết tam giác cân).
• Hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ có chung cạnh $AD$.

Do đó, theo tiêu chuẩn $c-g-c$ (cạnh - góc - cạnh), ta có:
$\triangle ABD = \triangle ACD.$

---

b) Chứng minh tia $AD$ là phân giác của góc $\angle BAC$

Do hai tam giác $\triangle ABD$ và $\triangle ACD$ bằng nhau (chứng minh trên), ta suy ra:
$\angle BAD = \angle CAD.$
Vì vậy, $AD$ là tia phân giác của $\angle BAC$.

---

c) Chứng minh $\triangle AMC = \triangle ANB$

Ta có:

• $AM = AN$ (giả thiết).
• $AB = AC$ (giả thiết tam giác cân).
• Góc $\angle MAC = \angle NAB$ (do $AD$ là phân giác của $\angle BAC$, chứng minh ở phần b).

Theo tiêu chuẩn $g-c-g$ (góc - cạnh - góc), ta suy ra:
$\triangle AMC = \triangle ANB.$

---

Bạn có muốn mình giải thích chi tiết hơn hoặc vẽ hình minh họa không?

Một số câu hỏi mở rộng:

1. Nếu $AD$ là phân giác của $\triangle ABC$, có thể kết luận thêm điều gì về các tam giác liên quan?
2. Nếu kéo dài $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABC$ tại điểm thứ hai $P$, điểm $P$ có tính chất gì?
3. Nếu $M$ và $N$ là trung điểm của $AB$ và $AC$, điều gì đặc biệt xảy ra?
4. Có thể mở rộng bài toán này cho các tam giác không cân không?
5. Nếu $D$ không phải trung điểm của $BC$, các kết luận trên có còn đúng không?

Mẹo:

Khi chứng minh hai tam giác bằng nhau, hãy thử áp dụng các tiêu chuẩn như $c-c-c$, $c-g-c$ hoặc $g-c-g$ để tìm ra cách hợp lý nhất!