برای پیدا کردن خاصیت درخت بودن گرافی که در آن یال‌ها اختلاف اول دو راس هستند (یعنی $|u-v|$ عدد اول است)، می‌توان از تحلیل‌های گرافی و ویژگی‌های خاص درخت‌ها استفاده کرد. یک درخت باید شرایط زیر را داشته باشد:

1. یکپارچگی (Connectivity): برای هر دو راس $u$ و $v$، باید مسیری از یال‌ها وجود داشته باشد که این دو را به هم متصل کند.
2. عدم وجود دور (Acyclicity): درخت‌ها هیچ حلقه‌ای (دور) ندارند، یعنی هیچ مسیری از یال‌ها وجود ندارد که از راس شروع شده و به همان راس باز گردد.

برای گرافی که در آن یال‌ها فقط بین راس‌هایی که اختلاف عددی اول دارند، برقرار است، می‌توانید این ویژگی‌ها را بررسی کنید.

مراحل تحلیل گراف:

1. اتصال: برای اینکه گراف به درخت تبدیل شود، باید بتوانیم برای هر جفت راس $u$ و $v$ که اختلاف آن‌ها عدد اول است، یک مسیر از یال‌ها پیدا کنیم که این دو راس را به هم متصل کند. اگر این مسیر وجود داشته باشد، گراف متصل است.

2. بررسی عدم وجود دور: به دلیل اینکه درخت‌ها باید بدون دور باشند، شما باید بررسی کنید که آیا در گرافی که ساخته شده است، هیچ چرخه‌ای وجود ندارد. این کار معمولاً با استفاده از الگوریتم‌های DFS یا BFS برای شناسایی دورها انجام می‌شود.

3. شرط یال‌ها: برای اینکه یال‌ها بین دو راس برقرار شوند، باید بررسی کنید که آیا اختلاف عددی بین هر دو راس عدد اول است یا خیر. برای هر جفت راس $u$ و $v$، باید چک کنید که $|u-v|$ یک عدد اول باشد.

نتیجه‌گیری:

اگر گراف به طور همزمان متصل باشد (یعنی برای هر دو راس، مسیری وجود داشته باشد) و هیچ دوری نداشته باشد، این گراف یک درخت است. اگر هرکدام از این شرایط نقض شود، گراف درخت نخواهد بود.

---

آیا می‌خواهید جزئیات بیشتری در مورد این روش‌ها داشته باشید یا سوال خاصی دارید؟
برای شما پنج سوال مرتبط به این بحث پیشنهاد می‌کنم:

1. چگونه می‌توان از الگوریتم DFS برای شناسایی دور در گراف استفاده کرد؟
2. آیا می‌توان این گراف را با استفاده از الگوریتم‌های جستجوی عرضی (BFS) تحلیل کرد؟
3. چه روش‌هایی برای تعیین اینکه آیا دو عدد اول هستند وجود دارد؟
4. چگونه می‌توان تعداد یال‌های یک درخت را به طور ریاضی محاسبه کرد؟
5. آیا درخت‌های متصل و بدون دور همیشه به طور یکتایی ساخته می‌شوند؟

نکته: درخت‌ها همیشه به تعداد یال‌ها یک واحد کمتر از تعداد راس‌ها دارند، یعنی اگر گراف شما $n$ راس داشته باشد، برای اینکه یک درخت باشد، باید دقیقاً $n-1$ یال داشته باشد.