Voici la traduction des différentes propriétés des fonctions $f$ et $g$, avec des quantificateurs logiques, où $\forall$ signifie "pour tout", $\exists$ signifie "il existe", et $\Rightarrow$ représente l'implication.

a) La fonction $f$ s’annule

Cela signifie qu'il existe un réel $x$ tel que $f(x) = 0$. $\exists x \in \mathbb{R}, \ f(x) = 0$

b) La fonction $f$ est la fonction nulle

Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 0$. $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = 0$

c) $f$ n’est pas la fonction constante

Cela signifie qu'il existe deux réels $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1) \neq f(x_2)$. $\exists x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ x_1 \neq x_2 \ \text{et} \ f(x_1) \neq f(x_2)$

d) La fonction $f$ ne prend jamais deux fois la même valeur

Cela signifie que pour tout $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, si $x_1 \neq x_2$, alors $f(x_1) \neq f(x_2)$. C’est la propriété d’être injective. $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

e) La fonction $f$ ne peut s’annuler qu’une seule fois

Cela signifie qu'il existe un réel $x_0$ tel que $f(x_0) = 0$ et pour tout autre $x \neq x_0$, $f(x) \neq 0$. $\exists x_0 \in \mathbb{R}, \ f(x_0) = 0 \ \text{et} \ \forall x \in \mathbb{R}, \ x \neq x_0 \Rightarrow f(x) \neq 0$

f) La fonction $f$ est strictement croissante

Cela signifie que pour tout $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, si $x_1 < x_2$, alors $f(x_1) < f(x_2)$. $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}, \ x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

g) La fonction $f$ est impaire

Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = -f(x)$. $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(-x) = -f(x)$

h) La fonction $f$ est paire

Cela signifie que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$. $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(-x) = f(x)$

---

Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions sur un point précis ?

Questions supplémentaires :

1. Comment prouve-t-on qu'une fonction est injective ?
2. Quelle est la différence entre une fonction paire et une fonction impaire ?
3. Comment exprimer qu'une fonction est continue à l'aide de quantificateurs ?
4. Quelle est la définition d'une fonction constante en termes de quantificateurs ?
5. Comment exprimer qu'une fonction est bornée ?

Tip :

Pour montrer qu'une fonction est strictement croissante, il est souvent utile d'utiliser la dérivée de la fonction et de montrer qu'elle est strictement positive.