この問題では、独立な確率変数 $X_1, \ldots, X_n$ を考え、それぞれが異なる連続分布関数 $F_i(x)$ に従っているとします。ここで新しい変数 $Y_i = -2 \log\{F_i(X_i)\}$ を定義しています。この設定について考察していきます。

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1. 背景: 確率変数と分布関数

   • $X_i$ は独立であり、各 $i$ について $F_i(x)$ が $X_i$ の累積分布関数（CDF）です。
   • $F_i(X_i)$ は、$X_i$ をその分布関数に適用したものです。その値は常に $[0, 1]$ の範囲にあります。

2. 変換: $Y_i = -2 \log\{F_i(X_i)\}$

   • $F_i(X_i)$ が $[0, 1]$ にあるため、$\log\{F_i(X_i)\}$ は負の値になります。
   • よって、$-2 \log\{F_i(X_i)\}$ は正の値になります。
   • この変換により、新しい確率変数 $Y_i$ が導かれます。

3. 応用:

   • こうした変換は一般に統計学で「尤度比」や「カイ二乗分布」の生成に関連付けられます。
   • 特に、このような変換された変数は、仮説検定や適合度検定で利用されることがあります。

4. 質問のポイント:

   • $Y_i$ の分布を求めること。
   • $F_i(x)$ の形に応じた解析。
   • $Y_i$ の特性（期待値、分散など）。

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次に考えるべきこと

1. $F_i(x)$ の具体的な形（例: 正規分布、指数分布など）。
2. 変換後の分布 $Y_i$ の解析。
3. $Y_i$ の期待値や分散の計算。
4. 実際の応用例としての利用シナリオ。
5. $Y_i$ がどのような確率分布に従うかの特定。

Tip: 累積分布関数 $F_i(X_i)$ の性質を活用する際、$F_i(X_i) \sim U(0,1)$ という事実を思い出してください。これは、任意の分布において CDF を適用すると一様分布に変換されることを示します。

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