Diberikan fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10$. Untuk menentukan titik stasioner dan nilai ekstrem dari fungsi tersebut, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Mencari Turunan Parsial

Langkah pertama adalah menghitung turunan parsial fungsi $f(x, y)$ terhadap $x$ dan $y$.

• Turunan parsial terhadap $x$: $f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10) = 2x - 4$

• Turunan parsial terhadap $y$: $f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10) = 2y - 6$

2. Mencari Titik Stasioner

Titik stasioner terjadi ketika kedua turunan parsial sama dengan nol, yaitu: $f_x(x, y) = 0 \quad \text{dan} \quad f_y(x, y) = 0$

• Untuk $f_x(x, y) = 0$: $2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$

• Untuk $f_y(x, y) = 0$: $2y - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3$

Jadi, titik stasioner adalah $(x, y) = (2, 3)$.

3. Menentukan Jenis Ekstrem (Maksimum, Minimum, atau Saddle Point)

Untuk menentukan jenis ekstrem dari titik stasioner, kita gunakan determinan dari matriks Hessian, yang merupakan matriks dari turunan parsial kedua.

Matriks Hessian

• Turunan kedua terhadap $x$: $f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 4) = 2$

• Turunan kedua terhadap $y$: $f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2y - 6) = 2$

• Turunan campuran $f_{xy}$: $f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 4) = 0$

Jadi, matriks Hessian-nya adalah: $H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Determinannya adalah: $\det(H) = (2)(2) - (0)(0) = 4$

Karena $\det(H) > 0$ dan $f_{xx} > 0$, maka titik stasioner di $(2, 3)$ adalah titik minimum lokal.

4. Nilai Ekstrem

Untuk mendapatkan nilai ekstrem di titik stasioner, kita substitusi $x = 2$ dan $y = 3$ ke dalam fungsi $f(x, y)$: $f(2, 3) = 2^2 + 3^2 - 4(2) - 6(3) + 10 = 4 + 9 - 8 - 18 + 10 = -3$

Jadi, nilai ekstrem minimum adalah $f(2, 3) = -3$.

Kesimpulan:

• Titik stasioner: $(2, 3)$
• Nilai ekstrem minimum: $f(2, 3) = -3$

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan apakah titik stasioner adalah maksimum, minimum, atau saddle point?
2. Apa itu matriks Hessian dan bagaimana peranannya dalam analisis ekstrem?
3. Bagaimana cara mengidentifikasi lebih dari satu titik stasioner pada fungsi yang lebih kompleks?
4. Apakah semua fungsi kuadrat selalu memiliki titik ekstrem tunggal?
5. Bagaimana jika determinan Hessian bernilai negatif, apa artinya?

Tip: Saat menghadapi fungsi kuadrat, sering kali bentuknya dapat dipecah menjadi bentuk kuadrat sempurna untuk lebih mudah menemukan titik ekstrem.