Diketahui fungsi f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y+10. Tentukan titik stasioner dan nilai ekstrem dari fungsi tersebut! 

Diberikan fungsi \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 \). Untuk menentukan titik stasioner dan nilai ekstrem dari fungsi tersebut, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

### 1. Mencari Turunan Parsial
Langkah pertama adalah menghitung turunan parsial fungsi \( f(x, y) \) terhadap \( x \) dan \( y \).

- Turunan parsial terhadap \( x \):
\[
f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10) = 2x - 4
\]

- Turunan parsial terhadap \( y \):
\[
f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10) = 2y - 6
\]

### 2. Mencari Titik Stasioner
Titik stasioner terjadi ketika kedua turunan parsial sama dengan nol, yaitu:
\[
f_x(x, y) = 0 \quad \text{dan} \quad f_y(x, y) = 0
\]

- Untuk \( f_x(x, y) = 0 \):
\[
2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]

- Untuk \( f_y(x, y) = 0 \):
\[
2y - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 3
\]

Jadi, titik stasioner adalah \( (x, y) = (2, 3) \).

### 3. Menentukan Jenis Ekstrem (Maksimum, Minimum, atau Saddle Point)
Untuk menentukan jenis ekstrem dari titik stasioner, kita gunakan determinan dari matriks Hessian, yang merupakan matriks dari turunan parsial kedua.

#### Matriks Hessian
- Turunan kedua terhadap \( x \):
\[
f_{xx}(x, y) = \frac{\partial}{\partial x}(2x - 4) = 2
\]

- Turunan kedua terhadap \( y \):
\[
f_{yy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2y - 6) = 2
\]

- Turunan campuran \( f_{xy} \):
\[
f_{xy}(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(2x - 4) = 0
\]

Jadi, matriks Hessian-nya adalah:
\[
H = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\]

Determinannya adalah:
\[
\det(H) = (2)(2) - (0)(0) = 4
\]

Karena \( \det(H) > 0 \) dan \( f_{xx} > 0 \), maka titik stasioner di \( (2, 3) \) adalah **titik minimum lokal**.

### 4. Nilai Ekstrem
Untuk mendapatkan nilai ekstrem di titik stasioner, kita substitusi \( x = 2 \) dan \( y = 3 \) ke dalam fungsi \( f(x, y) \):
\[
f(2, 3) = 2^2 + 3^2 - 4(2) - 6(3) + 10 = 4 + 9 - 8 - 18 + 10 = -3
\]

Jadi, nilai ekstrem minimum adalah \( f(2, 3) = -3 \).

### Kesimpulan:
- **Titik stasioner**: \( (2, 3) \)
- **Nilai ekstrem minimum**: \( f(2, 3) = -3 \)

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan apakah titik stasioner adalah maksimum, minimum, atau saddle point?
2. Apa itu matriks Hessian dan bagaimana peranannya dalam analisis ekstrem?
3. Bagaimana cara mengidentifikasi lebih dari satu titik stasioner pada fungsi yang lebih kompleks?
4. Apakah semua fungsi kuadrat selalu memiliki titik ekstrem tunggal?
5. Bagaimana jika determinan Hessian bernilai negatif, apa artinya?

**Tip**: Saat menghadapi fungsi kuadrat, sering kali bentuknya dapat dipecah menjadi bentuk kuadrat sempurna untuk lebih mudah menemukan titik ekstrem.

Diketahui fungsi f(x,y)=x^2+y^2-4x-6y+10. Tentukan titik stasioner dan nilai ekstrem dari fungsi tersebut!

Pelajari cara menentukan titik stasioner dan nilai ekstrem dari fungsi kuadrat f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y + 10 menggunakan turunan parsial dan matriks Hessian. Panduan langkah demi langkah ini mencakup perhitungan titik stasioner dan jenis ekstremnya, serta metode analisis menggunakan determinan Hessian. Cocok untuk siswa tingkat lanjutan atau perguruan tinggi.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation