Untuk menentukan titik maksimum lokal, titik minimum lokal, dan titik pelana dari fungsi $f(x, y) = e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Temukan titik kritis

1. Hitung turunan parsial pertama:

   • $f_x = \frac{\partial f}{\partial x}$
   • $f_y = \frac{\partial f}{\partial y}$

2. Set turunan parsial sama dengan nol:

   • $f_x = 0$
   • $f_y = 0$

Langkah 2: Hitung turunan parsial kedua

1. Hitung turunan parsial kedua:

   • $f_{xx}, f_{yy}, f_{xy}$

2. Gunakan determinan dari matriks Hessian: $D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$

Langkah 3: Analisis titik kritis

• Jika $D > 0$ dan $f_{xx} > 0$, maka ada titik minimum lokal.
• Jika $D > 0$ dan $f_{xx} < 0$, maka ada titik maksimum lokal.
• Jika $D < 0$, maka ada titik pelana.
• Jika $D = 0$, analisis lebih lanjut diperlukan.

Mari kita lakukan perhitungan ini.

1. Hitung turunan parsial pertama:

• Untuk $f_x$: $f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left(e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}\right) = -2x e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}$

• Untuk $f_y$: $f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}\right) = (4 - 2y)e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}$

2. Set turunan sama dengan nol:

• Dari $f_x = 0$: $-2x e^{-(x^2 + y^2 - 4y)} = 0 \implies x = 0$

• Dari $f_y = 0$: $(4 - 2y)e^{-(x^2 + y^2 - 4y)} = 0 \implies 4 - 2y = 0 \implies y = 2$

Titik Kritis:

Titik kritis adalah $(0, 2)$.

3. Hitung turunan parsial kedua:

• $f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2 e^{-(x^2 + y^2 - 4y)} + 4x^2 e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}$
• $f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2 e^{-(x^2 + y^2 - 4y)} + 4 e^{-(x^2 + y^2 - 4y)} - 4y e^{-(x^2 + y^2 - 4y)}$
• $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$

Evaluasi di titik kritis $(0, 2)$:

• $f_{xx}(0, 2) = -2 e^{-0} = -2$
• $f_{yy}(0, 2) = 2 e^{-0} = 2$
• $f_{xy}(0, 2) = 0$

Hitung Determinan Hessian:

$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(2) - (0)^2 = -4$

Kesimpulan:

Karena $D < 0$, maka titik $(0, 2)$ adalah titik pelana.

Jika Anda memerlukan rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain, silakan beri tahu! Berikut adalah beberapa pertanyaan tambahan yang dapat membantu pemahaman Anda:

1. Apa itu titik maksimum dan minimum dalam konteks fungsi multivariat?
2. Bagaimana cara menginterpretasikan determinan Hessian?
3. Apa perbedaan antara titik pelana dan titik kritis?
4. Dapatkah Anda memberikan contoh fungsi lain yang memiliki titik pelana?
5. Apa dampak dari turunan parsial pertama dan kedua terhadap analisis fungsi?

Tip: Untuk fungsi dua variabel, selalu pertimbangkan untuk memvisualisasikan grafik untuk pemahaman yang lebih baik tentang perilaku fungsi di sekitar titik kritis.