Si determini la formula di Taylor per la funzione di legge f(x)=e^(3x+2) nel punto x_0=-2 arrestata al terzo ordine;
spiega i passaggi e perche nella derivata prima c'è il 3 davanti al numero di nepero

La formula di Taylor per una funzione \( f(x) \) centrata in un punto \( x_0 \) e arrestata al terzo ordine è data da:

\[
T_3(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3
\]

Per determinare la formula di Taylor per la funzione \( f(x) = e^{3x+2} \) nel punto \( x_0 = -2 \), seguiamo questi passaggi:

### 1. Calcolo di \( f(x_0) \)

\[
f(x_0) = f(-2) = e^{3(-2) + 2} = e^{-6 + 2} = e^{-4}
\]

### 2. Calcolo della derivata prima \( f'(x) \)

Per derivare \( f(x) = e^{3x+2} \), dobbiamo applicare la regola della catena. La derivata di \( e^{3x+2} \) rispetto a \( x \) è:

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{3x+2} \right) = e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2)
\]

La derivata di \( 3x+2 \) rispetto a \( x \) è 3, quindi:

\[
f'(x) = 3e^{3x+2}
\]

Nella derivata prima c'è un 3 davanti al numero di Nepero \( e \) perché il termine \( 3x+2 \) è lineare in \( x \), e il fattore \( 3 \) proviene dalla derivata di \( 3x+2 \) rispetto a \( x \).

Ora calcoliamo \( f'(-2) \):

\[
f'(-2) = 3e^{3(-2)+2} = 3e^{-4}
\]

### 3. Calcolo della derivata seconda \( f''(x) \)

Deriviamo di nuovo \( f'(x) \):

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}\left( 3e^{3x+2} \right) = 3 \cdot e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2) = 3 \cdot 3e^{3x+2} = 9e^{3x+2}
\]

Calcoliamo \( f''(-2) \):

\[
f''(-2) = 9e^{-4}
\]

### 4. Calcolo della derivata terza \( f'''(x) \)

Deriviamo di nuovo \( f''(x) \):

\[
f'''(x) = \frac{d}{dx}\left( 9e^{3x+2} \right) = 9 \cdot e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2) = 9 \cdot 3e^{3x+2} = 27e^{3x+2}
\]

Calcoliamo \( f'''(-2) \):

\[
f'''(-2) = 27e^{-4}
\]

### 5. Formula di Taylor arrestata al terzo ordine

Ora possiamo scrivere la formula di Taylor arrestata al terzo ordine:

\[
T_3(x) = e^{-4} + 3e^{-4}(x + 2) + \frac{9e^{-4}}{2}(x + 2)^2 + \frac{27e^{-4}}{6}(x + 2)^3
\]

Semplificando:

\[
T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{27}{6}(x + 2)^3 \right]
\]

\[
T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{9}{2}(x + 2)^3 \right]
\]

### Conclusione

La formula di Taylor di ordine 3 per la funzione \( f(x) = e^{3x+2} \) centrata in \( x_0 = -2 \) è:

\[
T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{9}{2}(x + 2)^3 \right]
\]

#### Perché nella derivata prima c'è il 3?
Il 3 appare perché quando derivi \( e^{3x+2} \), applichi la regola della catena. La derivata dell'esponente \( 3x+2 \) rispetto a \( x \) è 3, e questo fattore viene moltiplicato per la funzione esponenziale.

---

Hai altre domande o vorresti approfondire qualche passaggio? Ecco alcune domande relative:

1. Come si calcola la serie di Taylor per altre funzioni esponenziali?
2. Quali sono le proprietà della regola della catena e come si applicano?
3. Come cambia la serie di Taylor se \( f(x) \) è una funzione polinomiale?
4. Come si verifica la correttezza della serie di Taylor calcolata?
5. Quali sono le applicazioni pratiche della serie di Taylor in fisica o ingegneria?

**Tip:** La serie di Taylor è uno strumento potente per approssimare funzioni complesse con polinomi, particolarmente utile nei calcoli numerici e nelle simulazioni.

Explore the Taylor series expansion for the function f(x) = e^(3x+2) at the point x = -2, including steps and explanation of the coefficient 3 in the first derivative. Suitable for advanced undergraduate students and those studying calculus.

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