La formula di Taylor per una funzione $f(x)$ centrata in un punto $x_0$ e arrestata al terzo ordine è data da:

$T_3(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x - x_0)^3$

Per determinare la formula di Taylor per la funzione $f(x) = e^{3x+2}$ nel punto $x_0 = -2$, seguiamo questi passaggi:

1. Calcolo di $f(x_0)$

$f(x_0) = f(-2) = e^{3(-2) + 2} = e^{-6 + 2} = e^{-4}$

2. Calcolo della derivata prima $f'(x)$

Per derivare $f(x) = e^{3x+2}$, dobbiamo applicare la regola della catena. La derivata di $e^{3x+2}$ rispetto a $x$ è:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( e^{3x+2} \right) = e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2)$

La derivata di $3x+2$ rispetto a $x$ è 3, quindi:

$f'(x) = 3e^{3x+2}$

Nella derivata prima c'è un 3 davanti al numero di Nepero $e$ perché il termine $3x+2$ è lineare in $x$, e il fattore $3$ proviene dalla derivata di $3x+2$ rispetto a $x$.

Ora calcoliamo $f'(-2)$:

$f'(-2) = 3e^{3(-2)+2} = 3e^{-4}$

3. Calcolo della derivata seconda $f''(x)$

Deriviamo di nuovo $f'(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx}\left( 3e^{3x+2} \right) = 3 \cdot e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2) = 3 \cdot 3e^{3x+2} = 9e^{3x+2}$

Calcoliamo $f''(-2)$:

$f''(-2) = 9e^{-4}$

4. Calcolo della derivata terza $f'''(x)$

Deriviamo di nuovo $f''(x)$:

$f'''(x) = \frac{d}{dx}\left( 9e^{3x+2} \right) = 9 \cdot e^{3x+2} \cdot \frac{d}{dx}(3x+2) = 9 \cdot 3e^{3x+2} = 27e^{3x+2}$

Calcoliamo $f'''(-2)$:

$f'''(-2) = 27e^{-4}$

5. Formula di Taylor arrestata al terzo ordine

Ora possiamo scrivere la formula di Taylor arrestata al terzo ordine:

$T_3(x) = e^{-4} + 3e^{-4}(x + 2) + \frac{9e^{-4}}{2}(x + 2)^2 + \frac{27e^{-4}}{6}(x + 2)^3$

Semplificando:

$T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{27}{6}(x + 2)^3 \right]$

$T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{9}{2}(x + 2)^3 \right]$

Conclusione

La formula di Taylor di ordine 3 per la funzione $f(x) = e^{3x+2}$ centrata in $x_0 = -2$ è:

$T_3(x) = e^{-4} \left[ 1 + 3(x + 2) + \frac{9}{2}(x + 2)^2 + \frac{9}{2}(x + 2)^3 \right]$

Perché nella derivata prima c'è il 3?

Il 3 appare perché quando derivi $e^{3x+2}$, applichi la regola della catena. La derivata dell'esponente $3x+2$ rispetto a $x$ è 3, e questo fattore viene moltiplicato per la funzione esponenziale.

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Hai altre domande o vorresti approfondire qualche passaggio? Ecco alcune domande relative:

1. Come si calcola la serie di Taylor per altre funzioni esponenziali?
2. Quali sono le proprietà della regola della catena e come si applicano?
3. Come cambia la serie di Taylor se $f(x)$ è una funzione polinomiale?
4. Come si verifica la correttezza della serie di Taylor calcolata?
5. Quali sono le applicazioni pratiche della serie di Taylor in fisica o ingegneria?

Tip: La serie di Taylor è uno strumento potente per approssimare funzioni complesse con polinomi, particolarmente utile nei calcoli numerici e nelle simulazioni.