Vamos a expresar la función $(x + 3)e^{2x}$ en una serie de Taylor con centro $a = 1$. Para ello, seguiremos el desarrollo conocido de $e^x$ paso a paso y al final lo dejaremos en notación de sumatoria.

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Paso 1: Recordemos el desarrollo de $e^x$

El desarrollo de Taylor de $e^x$ en torno a $x = 0$ es:

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.$

Reemplazando $x$ por $2x$, tenemos:

$e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n!}.$

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Paso 2: Multiplicar $e^{2x}$ por $(x + 3)$

La función dada es $(x+3)e^{2x}$, por lo que sustituimos el desarrollo de $e^{2x}$:

$(x+3)e^{2x} = (x+3) \sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n!}.$

Distribuyamos $(x+3)$ dentro de la sumatoria:

$(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)(2x)^n}{n!}.$

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Paso 3: Expandir $(x + 3)$

Expandimos el producto:

$(x+3)(2x)^n = x(2x)^n + 3(2x)^n.$

Entonces la expresión se convierte en:

$(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x(2x)^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{3(2x)^n}{n!}.$

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Paso 4: Separar las sumatorias

$(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n x^{n+1}}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{3 \cdot 2^n x^n}{n!}.$

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Paso 5: Cambiar el centro a $a = 1$

Para trasladar la serie a estar centrada en $x = 1$, realizamos un cambio de variable: $x = 1 + h$. Sustituimos $x$ por $1 + h$:

$(x+3)e^{2x} = ((1+h) + 3)e^{2(1+h)}.$

Esto se convierte en:

$(4+h)e^{2}e^{2h}.$

Expandiendo $e^{2h}$ en su serie de Taylor:

$e^{2h} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!}.$

Sustituyendo, tenemos:

$(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!}.$

Distribuyendo $(4+h)$:

$(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} = e^2 \left( 4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} + h \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} \right).$

Esto se reescribe como:

$(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} = e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{4(2h)^n}{n!} + e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{h(2h)^n}{n!}.$

Finalmente, podemos escribirlo en notación de sumatoria general:

$(x+3)e^{2x} = e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n (1+h)^n}{n!} .$