Math Problem Statement
Tengo la funcion (x+3)e^2x cuando a=1 a significa centro y quiero expresarla en serie de teylor partiendo del desarrollo conocido de e^x paso a paso hasta el final dejamelo en notación de la sumatoria
Solution
Vamos a expresar la función en una serie de Taylor con centro . Para ello, seguiremos el desarrollo conocido de paso a paso y al final lo dejaremos en notación de sumatoria.
Paso 1: Recordemos el desarrollo de
El desarrollo de Taylor de en torno a es:
Reemplazando por , tenemos:
Paso 2: Multiplicar por
La función dada es , por lo que sustituimos el desarrollo de :
Distribuyamos dentro de la sumatoria:
Paso 3: Expandir
Expandimos el producto:
Entonces la expresión se convierte en:
Paso 4: Separar las sumatorias
Paso 5: Cambiar el centro a
Para trasladar la serie a estar centrada en , realizamos un cambio de variable: . Sustituimos por :
Esto se convierte en:
Expandiendo en su serie de Taylor:
Sustituyendo, tenemos:
Distribuyendo :
Esto se reescribe como:
Finalmente, podemos escribirlo en notación de sumatoria general:
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Series Expansion
Taylor Series
Exponential Functions
Polynomial Multiplication
Formulas
e^x = sum_{n=0}^∞ (x^n / n!)
Taylor series expansion formula centered at x = a
Theorems
Taylor's Theorem
Suitable Grade Level
Grades 11-12 or Early College