Math Problem Statement

Tengo la funcion (x+3)e^2x cuando a=1 a significa centro y quiero expresarla en serie de teylor partiendo del desarrollo conocido de e^x paso a paso hasta el final dejamelo en notación de la sumatoria

Solution

Vamos a expresar la función (x+3)e2x(x + 3)e^{2x} en una serie de Taylor con centro a=1a = 1. Para ello, seguiremos el desarrollo conocido de exe^x paso a paso y al final lo dejaremos en notación de sumatoria.


Paso 1: Recordemos el desarrollo de exe^x

El desarrollo de Taylor de exe^x en torno a x=0x = 0 es:

ex=n=0xnn!.e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.

Reemplazando xx por 2x2x, tenemos:

e2x=n=0(2x)nn!.e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n!}.


Paso 2: Multiplicar e2xe^{2x} por (x+3)(x + 3)

La función dada es (x+3)e2x(x+3)e^{2x}, por lo que sustituimos el desarrollo de e2xe^{2x}:

(x+3)e2x=(x+3)n=0(2x)nn!.(x+3)e^{2x} = (x+3) \sum_{n=0}^\infty \frac{(2x)^n}{n!}.

Distribuyamos (x+3)(x+3) dentro de la sumatoria:

(x+3)e2x=n=0(x+3)(2x)nn!.(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)(2x)^n}{n!}.


Paso 3: Expandir (x+3)(x + 3)

Expandimos el producto:

(x+3)(2x)n=x(2x)n+3(2x)n.(x+3)(2x)^n = x(2x)^n + 3(2x)^n.

Entonces la expresión se convierte en:

(x+3)e2x=n=0x(2x)nn!+n=03(2x)nn!.(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x(2x)^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{3(2x)^n}{n!}.


Paso 4: Separar las sumatorias

(x+3)e2x=n=02nxn+1n!+n=032nxnn!.(x+3)e^{2x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n x^{n+1}}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{3 \cdot 2^n x^n}{n!}.


Paso 5: Cambiar el centro a a=1a = 1

Para trasladar la serie a estar centrada en x=1x = 1, realizamos un cambio de variable: x=1+hx = 1 + h. Sustituimos xx por 1+h1 + h:

(x+3)e2x=((1+h)+3)e2(1+h).(x+3)e^{2x} = ((1+h) + 3)e^{2(1+h)}.

Esto se convierte en:

(4+h)e2e2h.(4+h)e^{2}e^{2h}.

Expandiendo e2he^{2h} en su serie de Taylor:

e2h=n=0(2h)nn!.e^{2h} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!}.

Sustituyendo, tenemos:

(4+h)e2n=0(2h)nn!.(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!}.

Distribuyendo (4+h)(4+h):

(4+h)e2n=0(2h)nn!=e2(4n=0(2h)nn!+hn=0(2h)nn!).(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} = e^2 \left( 4 \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} + h \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} \right).

Esto se reescribe como:

(4+h)e2n=0(2h)nn!=e2n=04(2h)nn!+e2n=0h(2h)nn!.(4+h)e^{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2h)^n}{n!} = e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{4(2h)^n}{n!} + e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{h(2h)^n}{n!}.

Finalmente, podemos escribirlo en notación de sumatoria general:

(x+3)e2x=e2n=02n(1+h)nn!.(x+3)e^{2x} = e^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n (1+h)^n}{n!} .

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Series Expansion
Taylor Series
Exponential Functions
Polynomial Multiplication

Formulas

e^x = sum_{n=0}^∞ (x^n / n!)
Taylor series expansion formula centered at x = a

Theorems

Taylor's Theorem

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or Early College