Úloha 1a)

Máme danú funkciu:

$f(x) = \frac{1 - \cos \frac{x}{2}}{x^2}.$

Cieľ

1. Nájdite mocninový rozvoj funkcie $f(x)$ v okolí bodu $x = 0$.
2. Vypíšte prvé 3 členy tohto rozvoja.
3. Určte obor konvergencie mocninového radu.

Krok 1: Rozvoj $\cos\frac{x}{2}$ do Taylorovho radu

Taylorov rad pre $\cos u$ (v okolí bodu $u = 0$) je:

$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + \cdots$

Nahradíme $u = \frac{x}{2}$:

$\cos\frac{x}{2} = 1 - \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^2}{2} + \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^4}{24} - \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^6}{720} + \cdots$

Zjednodušíme jednotlivé členy:

$\cos\frac{x}{2} = 1 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^4}{384} - \frac{x^6}{46080} + \cdots$

Krok 2: Výpočet $1 - \cos\frac{x}{2}$

Teraz odčítame $\cos\frac{x}{2}$ od 1:

$1 - \cos\frac{x}{2} = 1 - \left(1 - \frac{x^2}{8} + \frac{x^4}{384} - \frac{x^6}{46080} + \cdots\right)$

$1 - \cos\frac{x}{2} = \frac{x^2}{8} - \frac{x^4}{384} + \frac{x^6}{46080} - \cdots$

Krok 3: Výpočet $f(x)$

Funkcia $f(x)$ je definovaná ako:

$f(x) = \frac{1 - \cos\frac{x}{2}}{x^2}.$

Nahradíme $1 - \cos\frac{x}{2}$ a vydelíme $x^2$:

$f(x) = \frac{\frac{x^2}{8} - \frac{x^4}{384} + \frac{x^6}{46080} - \cdots}{x^2}.$

Zjednodušíme vydelením:

$f(x) = \frac{1}{8} - \frac{x^2}{384} + \frac{x^4}{46080} - \cdots$

Prvé 3 členy rozvoja

Prvé tri členy mocninového rozvoja sú:

$f(x) = \frac{1}{8} - \frac{x^2}{384} + \frac{x^4}{46080}.$

Krok 4: Určenie oboru konvergencie

• Rozvoj je založený na rade $\cos\frac{x}{2}$, ktorý konverguje pre všetky $x$ ($-\infty, \infty$).
• Preto mocninový rad pre $f(x)$ konverguje na celom obore $\mathbb{R}$.

Výsledok

1. Mocninový rozvoj funkcie: $f(x) = \frac{1}{8} - \frac{x^2}{384} + \frac{x^4}{46080} + \cdots$

2. Prvé tri členy sú: $\frac{1}{8}, -\frac{x^2}{384}, \frac{x^4}{46080}.$

3. Obor konvergencie: $(-\infty, \infty).$

Máte otázky k výpočtu alebo chcete rozšírenie?

Rozširujúce otázky:

1. Chcete podrobnejšie vysvetlenie Taylorovho radu pre $\cos u$?
2. Mám vypočítať ďalšie členy rozvoja?
3. Chcete krok za krokom dôkaz konvergencie radu?
4. Mám podobne spracovať úlohu 1b)?
5. Môžem detailne vysvetliť, prečo $f(x)$ konverguje na $\mathbb{R}$?

Tip:

Pri práci s Taylorovými radmi je vždy dobré získať intuíciu pomocou grafického znázornenia originálnej funkcie a jej približovania.