1. Tentukan Hampiran fungsi di bawah ini ke dalam deret Taylor

a) ln(x) sampai orde-4 di sekitar X0=1, lalu hampiri nilai ln(0,9)

b) f(x) = 𝑒

𝑥

-1 sampai orde-3 di sekitar X0=0, lalu hitung nilai f(0,0001) sampai empat angka

penting

Mari kita selesaikan masalah ini satu per satu menggunakan deret Taylor.

### a) Deret Taylor untuk \( \ln(x) \) sampai orde ke-4 di sekitar \( X_0 = 1 \)

**Langkah 1: Tentukan turunan dari \( \ln(x) \):**

- \( f(x) = \ln(x) \)
- Turunan pertama: \( f'(x) = \frac{1}{x} \)
- Turunan kedua: \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)
- Turunan ketiga: \( f'''(x) = \frac{2}{x^3} \)
- Turunan keempat: \( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \)

**Langkah 2: Evaluasi di \( X_0 = 1 \):**

- \( f(1) = \ln(1) = 0 \)
- \( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \)
- \( f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \)
- \( f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 \)
- \( f^{(4)}(1) = -\frac{6}{1^4} = -6 \)

**Langkah 3: Bentuk deret Taylor hingga orde ke-4:**

\[
f(x) = \ln(x) \approx f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x - 1)^4
\]

Substitusi nilai-nilai turunan:

\[
\ln(x) \approx 0 + 1(x - 1) + \frac{-1}{2}(x - 1)^2 + \frac{2}{6}(x - 1)^3 + \frac{-6}{24}(x - 1)^4
\]

Sederhanakan:

\[
\ln(x) \approx (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{1}{4}(x - 1)^4
\]

**Langkah 4: Hitung hampiran \( \ln(0.9) \):**

Substitusi \( x = 0.9 \) ke dalam deret Taylor:

\[
\ln(0.9) \approx (0.9 - 1) - \frac{1}{2}(0.9 - 1)^2 + \frac{1}{3}(0.9 - 1)^3 - \frac{1}{4}(0.9 - 1)^4
\]
\[
\ln(0.9) \approx -0.1 - \frac{1}{2}(-0.1)^2 + \frac{1}{3}(-0.1)^3 - \frac{1}{4}(-0.1)^4
\]
\[
\ln(0.9) \approx -0.1 - 0.005 + 0.000333 - 0.000025
\]
\[
\ln(0.9) \approx -0.104692
\]

Jadi, hampiran nilai \( \ln(0.9) \) adalah sekitar **-0.1047**.

---

### b) Deret Taylor untuk \( f(x) = e^x - 1 \) sampai orde ke-3 di sekitar \( X_0 = 0 \)

**Langkah 1: Tentukan turunan dari \( f(x) = e^x - 1 \):**

- \( f(x) = e^x - 1 \)
- Turunan pertama: \( f'(x) = e^x \)
- Turunan kedua: \( f''(x) = e^x \)
- Turunan ketiga: \( f'''(x) = e^x \)

**Langkah 2: Evaluasi di \( X_0 = 0 \):**

- \( f(0) = e^0 - 1 = 0 \)
- \( f'(0) = e^0 = 1 \)
- \( f''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'''(0) = e^0 = 1 \)

**Langkah 3: Bentuk deret Taylor hingga orde ke-3:**

\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3
\]
Substitusi nilai-nilai turunan:

\[
f(x) = 0 + 1x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3
\]
\[
f(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3
\]

**Langkah 4: Hitung hampiran \( f(0.0001) \):**

Substitusi \( x = 0.0001 \) ke dalam deret Taylor:

\[
f(0.0001) \approx 0.0001 + \frac{1}{2}(0.0001)^2 + \frac{1}{6}(0.0001)^3
\]
\[
f(0.0001) \approx 0.0001 + 0.5 \times 10^{-8} + 1.6667 \times 10^{-13}
\]
\[
f(0.0001) \approx 0.000100005
\]

Jadi, hampiran nilai \( f(0.0001) \) sampai empat angka penting adalah **0.00010001**.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung turunan untuk fungsi lain di sekitar titik tertentu?
2. Mengapa deret Taylor digunakan untuk mendekati fungsi non-polynomial?
3. Apakah ada cara lain selain deret Taylor untuk menghampiri fungsi?
4. Bagaimana memeriksa konvergensi deret Taylor pada suatu interval?
5. Apa perbedaan antara deret Maclaurin dan deret Taylor?

**Tip:** Deret Taylor sangat berguna untuk menghampiri fungsi di sekitar suatu titik tertentu, tetapi konvergensi deretnya bisa berbeda-beda tergantung pada jarak dari titik pusatnya.

1. Tentukan Hampiran fungsi di bawah ini ke dalam deret Taylor a) ln(x) sampai orde-4 di sekitar X0=1, lalu hampiri nilai ln(0,9) b) f(x) = e^x -1 sampai orde-3 di sekitar X0=0, lalu hitung nilai f(0,0001) sampai empat angka penting

This solution explains how to approximate ln(x) up to the 4th order Taylor series around X0=1 and calculate ln(0.9), as well as approximate e^x - 1 up to the 3rd order Taylor series around X0=0 to find f(0.0001). Learn key concepts in calculus, including derivatives and series expansions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation