Mari kita selesaikan masalah ini satu per satu menggunakan deret Taylor.

a) Deret Taylor untuk $\ln(x)$ sampai orde ke-4 di sekitar $X_0 = 1$

Langkah 1: Tentukan turunan dari $\ln(x)$:

• $f(x) = \ln(x)$
• Turunan pertama: $f'(x) = \frac{1}{x}$
• Turunan kedua: $f''(x) = -\frac{1}{x^2}$
• Turunan ketiga: $f'''(x) = \frac{2}{x^3}$
• Turunan keempat: $f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$

Langkah 2: Evaluasi di $X_0 = 1$:

• $f(1) = \ln(1) = 0$
• $f'(1) = \frac{1}{1} = 1$
• $f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$
• $f'''(1) = \frac{2}{1^3} = 2$
• $f^{(4)}(1) = -\frac{6}{1^4} = -6$

Langkah 3: Bentuk deret Taylor hingga orde ke-4:

$f(x) = \ln(x) \approx f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x - 1)^4$

Substitusi nilai-nilai turunan:

$\ln(x) \approx 0 + 1(x - 1) + \frac{-1}{2}(x - 1)^2 + \frac{2}{6}(x - 1)^3 + \frac{-6}{24}(x - 1)^4$

Sederhanakan:

$\ln(x) \approx (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 - \frac{1}{4}(x - 1)^4$

Langkah 4: Hitung hampiran $\ln(0.9)$:

Substitusi $x = 0.9$ ke dalam deret Taylor:

$\ln(0.9) \approx (0.9 - 1) - \frac{1}{2}(0.9 - 1)^2 + \frac{1}{3}(0.9 - 1)^3 - \frac{1}{4}(0.9 - 1)^4$ $\ln(0.9) \approx -0.1 - \frac{1}{2}(-0.1)^2 + \frac{1}{3}(-0.1)^3 - \frac{1}{4}(-0.1)^4$ $\ln(0.9) \approx -0.1 - 0.005 + 0.000333 - 0.000025$ $\ln(0.9) \approx -0.104692$

Jadi, hampiran nilai $\ln(0.9)$ adalah sekitar -0.1047.

---

b) Deret Taylor untuk $f(x) = e^x - 1$ sampai orde ke-3 di sekitar $X_0 = 0$

Langkah 1: Tentukan turunan dari $f(x) = e^x - 1$:

• $f(x) = e^x - 1$
• Turunan pertama: $f'(x) = e^x$
• Turunan kedua: $f''(x) = e^x$
• Turunan ketiga: $f'''(x) = e^x$

Langkah 2: Evaluasi di $X_0 = 0$:

• $f(0) = e^0 - 1 = 0$
• $f'(0) = e^0 = 1$
• $f''(0) = e^0 = 1$
• $f'''(0) = e^0 = 1$

Langkah 3: Bentuk deret Taylor hingga orde ke-3:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$ Substitusi nilai-nilai turunan:

$f(x) = 0 + 1x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$ $f(x) = x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3$

Langkah 4: Hitung hampiran $f(0.0001)$:

Substitusi $x = 0.0001$ ke dalam deret Taylor:

$f(0.0001) \approx 0.0001 + \frac{1}{2}(0.0001)^2 + \frac{1}{6}(0.0001)^3$ $f(0.0001) \approx 0.0001 + 0.5 \times 10^{-8} + 1.6667 \times 10^{-13}$ $f(0.0001) \approx 0.000100005$

Jadi, hampiran nilai $f(0.0001)$ sampai empat angka penting adalah 0.00010001.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menghitung turunan untuk fungsi lain di sekitar titik tertentu?
2. Mengapa deret Taylor digunakan untuk mendekati fungsi non-polynomial?
3. Apakah ada cara lain selain deret Taylor untuk menghampiri fungsi?
4. Bagaimana memeriksa konvergensi deret Taylor pada suatu interval?
5. Apa perbedaan antara deret Maclaurin dan deret Taylor?

Tip: Deret Taylor sangat berguna untuk menghampiri fungsi di sekitar suatu titik tertentu, tetapi konvergensi deretnya bisa berbeda-beda tergantung pada jarak dari titik pusatnya.