Aufgabe:

Für die Funktion $f(x) = x^{n-1} e^{-x}$ mit $n > 3$ soll das bestimmte Integral $\int_0^2 f(x) \, dx$ näherungsweise berechnet werden. Dazu wird das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0 = 0$ aufgestellt und zur Berechnung des Integrals verwendet.

Schritt 1: Funktion aufstellen

Die gegebene Funktion lautet: $f(x) = x^{n-1} e^{-x}$ Für das Taylorpolynom benötigen wir die Ableitungen der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0 = 0$.

Schritt 2: Ableitungen berechnen

1. Funktion an der Stelle $x = 0$: f(0) = 0^{n-1} e^0 = 0 \quad \text{(für n > 3)}

2. Erste Ableitung von $f(x)$: $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{n-1} e^{-x} \right) = (n-1)x^{n-2} e^{-x} - x^{n-1} e^{-x}$ Setzen wir $x = 0$ ein: $f'(0) = (n-1) \cdot 0^{n-2} \cdot e^0 - 0^{n-1} \cdot e^0 = 0$

3. Zweite Ableitung von $f(x)$: Die zweite Ableitung ergibt sich durch erneutes Differenzieren: $f''(x) = \frac{d}{dx} \left( (n-1)x^{n-2} e^{-x} - x^{n-1} e^{-x} \right)$ Nach der Produktregel: [ f''(x) = (n-1)\left[(n-2)x^{n-3}e^{-x} - x^{n-2}e^{-x}\right] - \left[(n-1)x^{n-2}e^{-x} - x^{n-1}e^{-x}\right] ] Setzen wir $x = 0$ ein: $f''(0) = (n-1)(n-2)\cdot 0^{n-3} \cdot e^0 - (n-1) \cdot 0^{n-2} \cdot e^0 = 0$

4. Dritte Ableitung von $f(x)$: Da die ersten Ableitungen für $x = 0$ Null sind, gehen wir direkt zur nächsten Ableitung über: $f^{(3)}(x) = (n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}e^{-x} - (n-1)x^{n-3}e^{-x}$ Für $x = 0$ ergibt dies: $f^{(3)}(0) = (n-1)(n-2)(n-3)\cdot 0^{n-4}\cdot e^0 = 0$

Schritt 3: Taylorpolynom 2. Ordnung aufstellen

Das Taylorpolynom 2. Ordnung $T_2(x)$ der Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0 = 0$ lautet: $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 0$ Da die ersten beiden Ableitungen und die Funktion selbst an der Stelle 0 Null sind, ergibt sich: $T_2(x) = 0$

Schritt 4: Näherung des Integrals

Da das Taylorpolynom 2. Ordnung $T_2(x) = 0$ ist, ergibt sich das Integral: $\int_0^2 T_2(x) \, dx = \int_0^2 0 \, dx = 0$

Schlussfolgerung:

Die Näherung des bestimmten Integrals $\int_0^2 f(x) \, dx$ durch das Taylorpolynom 2. Ordnung ist in diesem Fall gleich 0. Dies liegt daran, dass die Funktion und ihre Ableitungen an der Stelle $x = 0$ Null ergeben.

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4. Wie kann man das Integral für höhere Ordnungen des Taylorpolynoms berechnen?
5. Welche anderen Näherungsverfahren existieren zur Berechnung von Integralen?

Tipp: Taylorpolynome sind besonders nützlich, um komplizierte Funktionen durch einfache Polynome in der Nähe eines bestimmten Punktes zu approximieren.