Für die Funktion f(x) = x^n−1 e −x mit n > 3 soll ein Näherungswert des bestimmten Integrals ˆ 2 0 f(x) dx berechnet werden. Stellen Sie das Taylorpolynom 2. Ordnung für die Funktion f(x) auf und berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals mithilfe des Taylorpolynoms anstatt der ursprünglichen Funktion.

### Aufgabe:
Für die Funktion \( f(x) = x^{n-1} e^{-x} \) mit \( n > 3 \) soll das bestimmte Integral \(\int_0^2 f(x) \, dx \) näherungsweise berechnet werden. Dazu wird das Taylorpolynom 2. Ordnung der Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) aufgestellt und zur Berechnung des Integrals verwendet.

### Schritt 1: Funktion aufstellen
Die gegebene Funktion lautet:
\[
f(x) = x^{n-1} e^{-x}
\]
Für das Taylorpolynom benötigen wir die Ableitungen der Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \).

### Schritt 2: Ableitungen berechnen

1. **Funktion an der Stelle \( x = 0 \):**
   \[
   f(0) = 0^{n-1} e^0 = 0 \quad \text{(für \( n > 3 \))}
   \]
   
2. **Erste Ableitung von \( f(x) \):**
   \[
   f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{n-1} e^{-x} \right) = (n-1)x^{n-2} e^{-x} - x^{n-1} e^{-x}
   \]
   Setzen wir \( x = 0 \) ein:
   \[
   f'(0) = (n-1) \cdot 0^{n-2} \cdot e^0 - 0^{n-1} \cdot e^0 = 0
   \]

3. **Zweite Ableitung von \( f(x) \):**
   Die zweite Ableitung ergibt sich durch erneutes Differenzieren:
   \[
   f''(x) = \frac{d}{dx} \left( (n-1)x^{n-2} e^{-x} - x^{n-1} e^{-x} \right)
   \]
   Nach der Produktregel:
   \[
   f''(x) = (n-1)\left[(n-2)x^{n-3}e^{-x} - x^{n-2}e^{-x}\right] - \left[(n-1)x^{n-2}e^{-x} - x^{n-1}e^{-x}\right]
   \]
   Setzen wir \( x = 0 \) ein:
   \[
   f''(0) = (n-1)(n-2)\cdot 0^{n-3} \cdot e^0 - (n-1) \cdot 0^{n-2} \cdot e^0 = 0
   \]
   
4. **Dritte Ableitung von \( f(x) \):**
   Da die ersten Ableitungen für \( x = 0 \) Null sind, gehen wir direkt zur nächsten Ableitung über:
   \[
   f^{(3)}(x) = (n-1)(n-2)(n-3)x^{n-4}e^{-x} - (n-1)x^{n-3}e^{-x}
   \]
   Für \( x = 0 \) ergibt dies:
   \[
   f^{(3)}(0) = (n-1)(n-2)(n-3)\cdot 0^{n-4}\cdot e^0 = 0
   \]

### Schritt 3: Taylorpolynom 2. Ordnung aufstellen
Das Taylorpolynom 2. Ordnung \( T_2(x) \) der Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) lautet:
\[
T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 = 0
\]
Da die ersten beiden Ableitungen und die Funktion selbst an der Stelle 0 Null sind, ergibt sich:
\[
T_2(x) = 0
\]

### Schritt 4: Näherung des Integrals
Da das Taylorpolynom 2. Ordnung \( T_2(x) = 0 \) ist, ergibt sich das Integral:
\[
\int_0^2 T_2(x) \, dx = \int_0^2 0 \, dx = 0
\]

### Schlussfolgerung:
Die Näherung des bestimmten Integrals \(\int_0^2 f(x) \, dx \) durch das Taylorpolynom 2. Ordnung ist in diesem Fall gleich 0. Dies liegt daran, dass die Funktion und ihre Ableitungen an der Stelle \( x = 0 \) Null ergeben.

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Hier sind 5 verwandte Fragen:
1. Was ist der Unterschied zwischen einem Taylorpolynom und einer Taylorreihe?
2. Wie wird das Taylorpolynom 3. Ordnung für die Funktion aufgestellt?
3. Was ist die Bedeutung von Taylorpolynomen in der numerischen Integration?
4. Wie kann man das Integral für höhere Ordnungen des Taylorpolynoms berechnen?
5. Welche anderen Näherungsverfahren existieren zur Berechnung von Integralen?

**Tipp:** Taylorpolynome sind besonders nützlich, um komplizierte Funktionen durch einfache Polynome in der Nähe eines bestimmten Punktes zu approximieren.

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