carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal pada permukaan z=x^2+y^2 di titik (2, -1, 5)

Untuk mencari persamaan bidang singgung dan garis normal pada permukaan \( z = x^2 + y^2 \) di titik \( (2, -1, 5) \), kita perlu mengikuti beberapa langkah:

1. **Temukan gradien (∇f) dari fungsi permukaan**:

   Fungsi permukaan adalah \( f(x, y, z) = z - (x^2 + y^2) \).

   Gradien dari \( f \), yaitu \( \nabla f \), diberikan oleh:
   \[
   \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)
   = \left( -2x, -2y, 1 \right)
   \]

2. **Substitusikan titik \( (2, -1, 5) \) ke gradien untuk menemukan vektor normal pada permukaan di titik tersebut**:

   Dengan \( x = 2 \), \( y = -1 \), dan \( z = 5 \), vektor gradien menjadi:
   \[
   \nabla f (2, -1, 5) = \left( -2(2), -2(-1), 1 \right) = (-4, 2, 1)
   \]

   Jadi, vektor normal pada titik \( (2, -1, 5) \) adalah \( (-4, 2, 1) \).

3. **Cari persamaan bidang singgung**:

   Persamaan bidang singgung pada titik \( (x_0, y_0, z_0) \) dengan vektor normal \( (A, B, C) \) adalah:
   \[
   A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0
   \]
   Substitusi \( A = -4 \), \( B = 2 \), \( C = 1 \), dan \( (x_0, y_0, z_0) = (2, -1, 5) \):
   \[
   -4(x - 2) + 2(y + 1) + 1(z - 5) = 0
   \]
   Sederhanakan persamaan ini:
   \[
   -4x + 8 + 2y + 2 + z - 5 = 0
   \]
   \[
   -4x + 2y + z + 5 = 0
   \]
   Jadi, persamaan bidang singgungnya adalah:
   \[
   -4x + 2y + z + 5 = 0
   \]

4. **Cari persamaan garis normal**:

   Garis normal dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik:
   \[
   x = x_0 + At
   \]
   \[
   y = y_0 + Bt
   \]
   \[
   z = z_0 + Ct
   \]
   Dengan \( A = -4 \), \( B = 2 \), \( C = 1 \), dan \( (x_0, y_0, z_0) = (2, -1, 5) \), maka:
   \[
   x = 2 - 4t
   \]
   \[
   y = -1 + 2t
   \]
   \[
   z = 5 + t
   \]
   Jadi, persamaan parametrik untuk garis normal adalah:
   \[
   x = 2 - 4t, \quad y = -1 + 2t, \quad z = 5 + t
   \]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menentukan gradien dari fungsi yang lebih kompleks?
2. Apa hubungan antara vektor normal dan bidang singgung pada permukaan?
3. Bagaimana cara mencari persamaan bidang singgung pada fungsi parametrik?
4. Apa itu garis normal, dan mengapa penting dalam geometri diferensial?
5. Bagaimana menentukan apakah suatu titik berada di atas atau di bawah bidang singgung?

### Tip
Gradien suatu fungsi pada titik tertentu menunjukkan arah kenaikan tercepat dari fungsi tersebut di titik tersebut.

Carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal pada permukaan z=x^2+y^2 di titik (2, -1, 5)

Learn how to find the equations for the tangent plane and normal line at a given point (2, -1, 5) on the surface z = x^2 + y^2. This solution covers concepts in multivariable calculus, including gradient vectors, tangent planes, and parametric equations for normal lines. Suitable for Grades 11-12 and undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation