Math Problem Statement
carilah persamaan-persamaan untuk bidang singgung dan garis normal pada permukaan z=x^2+y^2 di titik (2, -1, 5)
Solution
Untuk mencari persamaan bidang singgung dan garis normal pada permukaan di titik , kita perlu mengikuti beberapa langkah:
-
Temukan gradien (∇f) dari fungsi permukaan:
Fungsi permukaan adalah .
Gradien dari , yaitu , diberikan oleh:
= \left( -2x, -2y, 1 \right)$$ -
Substitusikan titik ke gradien untuk menemukan vektor normal pada permukaan di titik tersebut:
Dengan , , dan , vektor gradien menjadi:
Jadi, vektor normal pada titik adalah .
-
Cari persamaan bidang singgung:
Persamaan bidang singgung pada titik dengan vektor normal adalah: Substitusi , , , dan : Sederhanakan persamaan ini: Jadi, persamaan bidang singgungnya adalah:
-
Cari persamaan garis normal:
Garis normal dapat dinyatakan dalam bentuk parametrik: Dengan , , , dan , maka: Jadi, persamaan parametrik untuk garis normal adalah:
Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?
Pertanyaan Terkait:
- Bagaimana cara menentukan gradien dari fungsi yang lebih kompleks?
- Apa hubungan antara vektor normal dan bidang singgung pada permukaan?
- Bagaimana cara mencari persamaan bidang singgung pada fungsi parametrik?
- Apa itu garis normal, dan mengapa penting dalam geometri diferensial?
- Bagaimana menentukan apakah suatu titik berada di atas atau di bawah bidang singgung?
Tip
Gradien suatu fungsi pada titik tertentu menunjukkan arah kenaikan tercepat dari fungsi tersebut di titik tersebut.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Differential Calculus
Multivariable Calculus
Gradient
Tangent Planes
Normal Lines
Formulas
Gradient: ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
Tangent Plane: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Normal Line Parametric Equations: x = x0 + At, y = y0 + Bt, z = z0 + Ct
Theorems
Gradient Vector and Directional Derivatives
Suitable Grade Level
Grades 11-12, Undergraduate Calculus
Related Recommendation
Equation of the Tangent Plane to Surface at Point (2,3,3)
Tangent Plane and Normal Line to Surface x = y^2 + 5z^2 - 439 at (2, 6, -9)
Tangent Plane and Normal Line to the Surface x = 3y^2 + 3z^2 - 252 at (-6, -1, -9)
Unit Normal Vector to the Surface x^2 + y^2 = z at (1,−2,5)
Tangent Plane and Normal Line for y = x^2 - z^2 at (5, 21, 2)