https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172884173086370535t60.jpg

Ja, jeg kan give svaret på dansk. Lad os finde tangentligningerne for begge funktioner ved de angivne punkter.

### (a) \( y = \ln(x) \)

For at finde tangentligningen skal vi bruge hældningen af tangenten, som er givet ved den afledte af funktionen \( y = \ln(x) \), og punktet på kurven.

1. **Afledte af \( y = \ln(x) \):**
   \[
   y' = \frac{1}{x}
   \]
   
2. **Tangenten ved \( x = 1 \):**
   - Punktet er \( (1, \ln(1)) = (1, 0) \).
   - Hældningen er \( y'(1) = \frac{1}{1} = 1 \).
   - Tangentens ligning er \( y - 0 = 1(x - 1) \), altså:
     \[
     y = x - 1
     \]

3. **Tangenten ved \( x = \frac{1}{2} \):**
   - Punktet er \( \left(\frac{1}{2}, \ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{2}, -\ln(2)\right) \).
   - Hældningen er \( y'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \).
   - Tangentens ligning er:
     \[
     y + \ln(2) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)
     \]
     hvilket giver:
     \[
     y = 2x - 1 - \ln(2)
     \]

4. **Tangenten ved \( x = e \):**
   - Punktet er \( (e, \ln(e)) = (e, 1) \).
   - Hældningen er \( y'(e) = \frac{1}{e} \).
   - Tangentens ligning er:
     \[
     y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)
     \]
     hvilket giver:
     \[
     y = \frac{1}{e}x + \left(1 - \frac{1}{e}\right)
     \]

### (b) \( y = xe^x \)

For denne funktion skal vi igen bruge den afledte for at finde hældningen ved de angivne punkter.

1. **Afledte af \( y = xe^x \):**
   \[
   y' = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x(x + 1)
   \]

2. **Tangenten ved \( x = 0 \):**
   - Punktet er \( (0, 0 \cdot e^0) = (0, 0) \).
   - Hældningen er \( y'(0) = e^0(0 + 1) = 1 \).
   - Tangentens ligning er:
     \[
     y - 0 = 1(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = x
     \]

3. **Tangenten ved \( x = 1 \):**
   - Punktet er \( (1, 1 \cdot e^1) = (1, e) \).
   - Hældningen er \( y'(1) = e(1 + 1) = 2e \).
   - Tangentens ligning er:
     \[
     y - e = 2e(x - 1)
     \]
     hvilket giver:
     \[
     y = 2ex - e
     \]

4. **Tangenten ved \( x = -2 \):**
   - Punktet er \( (-2, -2e^{-2}) = (-2, -\frac{2}{e^2}) \).
   - Hældningen er \( y'(-2) = e^{-2}(-2 + 1) = -\frac{e^{-2}}{e^2} = -\frac{1}{e^2} \).
   - Tangentens ligning er:
     \[
     y + \frac{2}{e^2} = -\frac{1}{e^2}(x + 2)
     \]
     hvilket giver:
     \[
     y = -\frac{1}{e^2}x - \frac{4}{e^2}
     \]

Vil du have yderligere detaljer om nogle af disse trin?

Her er fem relaterede spørgsmål til at udvide forståelsen:
1. Hvordan finder man afledte af en sammensat funktion?
2. Hvad er geometrien bag en tangent til en kurve?
3. Hvad betyder den naturlige logaritme \( \ln(x) \) i forhold til eksponentialfunktioner?
4. Hvordan kan man udlede ligningen for en tangent ved et vilkårligt punkt?
5. Hvordan ændrer hældningen af tangenten sig for forskellige funktioner?

**Tip:** Tangenten til en kurve beskriver, hvordan kurven opfører sig "lokalt" ved et punkt. Den afledte værdi i punktet giver dig hældningen af denne tangent.

Find the equations for the tangents to the graph of y = ln x at the three points with x-coordinates: 1, 1/2, and e; y = xe^x at the three points with x-coordinates: 0, 1, and -2.

Learn how to find the tangent lines to the graph of y = ln(x) at x = 1, 1/2, and e, and y = xe^x at x = 0, 1, and -2. This solution involves the derivative of logarithmic and exponential functions and provides detailed steps for finding the tangent equations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation