Ja, jeg kan give svaret på dansk. Lad os finde tangentligningerne for begge funktioner ved de angivne punkter.

(a) $y = \ln(x)$

For at finde tangentligningen skal vi bruge hældningen af tangenten, som er givet ved den afledte af funktionen $y = \ln(x)$, og punktet på kurven.

1. Afledte af $y = \ln(x)$: $y' = \frac{1}{x}$

2. Tangenten ved $x = 1$:

   • Punktet er $(1, \ln(1)) = (1, 0)$.
   • Hældningen er $y'(1) = \frac{1}{1} = 1$.
   • Tangentens ligning er $y - 0 = 1(x - 1)$, altså: $y = x - 1$

3. Tangenten ved $x = \frac{1}{2}$:

   • Punktet er $\left(\frac{1}{2}, \ln\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{2}, -\ln(2)\right)$.
   • Hældningen er $y'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$.
   • Tangentens ligning er: $y + \ln(2) = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)$ hvilket giver: $y = 2x - 1 - \ln(2)$

4. Tangenten ved $x = e$:

   • Punktet er $(e, \ln(e)) = (e, 1)$.
   • Hældningen er $y'(e) = \frac{1}{e}$.
   • Tangentens ligning er: $y - 1 = \frac{1}{e}(x - e)$ hvilket giver: $y = \frac{1}{e}x + \left(1 - \frac{1}{e}\right)$

(b) $y = xe^x$

For denne funktion skal vi igen bruge den afledte for at finde hældningen ved de angivne punkter.

1. Afledte af $y = xe^x$: $y' = \frac{d}{dx}(xe^x) = e^x(x + 1)$

2. Tangenten ved $x = 0$:

   • Punktet er $(0, 0 \cdot e^0) = (0, 0)$.
   • Hældningen er $y'(0) = e^0(0 + 1) = 1$.
   • Tangentens ligning er: $y - 0 = 1(x - 0) \quad \Rightarrow \quad y = x$

3. Tangenten ved $x = 1$:

   • Punktet er $(1, 1 \cdot e^1) = (1, e)$.
   • Hældningen er $y'(1) = e(1 + 1) = 2e$.
   • Tangentens ligning er: $y - e = 2e(x - 1)$ hvilket giver: $y = 2ex - e$

4. Tangenten ved $x = -2$:

   • Punktet er $(-2, -2e^{-2}) = (-2, -\frac{2}{e^2})$.
   • Hældningen er $y'(-2) = e^{-2}(-2 + 1) = -\frac{e^{-2}}{e^2} = -\frac{1}{e^2}$.
   • Tangentens ligning er: $y + \frac{2}{e^2} = -\frac{1}{e^2}(x + 2)$ hvilket giver: $y = -\frac{1}{e^2}x - \frac{4}{e^2}$

Vil du have yderligere detaljer om nogle af disse trin?

Her er fem relaterede spørgsmål til at udvide forståelsen:

1. Hvordan finder man afledte af en sammensat funktion?
2. Hvad er geometrien bag en tangent til en kurve?
3. Hvad betyder den naturlige logaritme $\ln(x)$ i forhold til eksponentialfunktioner?
4. Hvordan kan man udlede ligningen for en tangent ved et vilkårligt punkt?
5. Hvordan ændrer hældningen af tangenten sig for forskellige funktioner?

Tip: Tangenten til en kurve beskriver, hvordan kurven opfører sig "lokalt" ved et punkt. Den afledte værdi i punktet giver dig hældningen af denne tangent.