Math Problem Statement
Styczna do funkcji f(x) = x^x wzor na styczna to y = f(2) + f'(2) * (x - 2)
Solution
Aby znaleźć równanie stycznej do funkcji w punkcie , skorzystamy z podanego wzoru na równanie stycznej:
gdzie to wartość funkcji w punkcie , a to wartość pochodnej funkcji w tym samym punkcie.
Krok 1: Obliczenie
Funkcja . Wartość funkcji w punkcie wynosi:
Krok 2: Obliczenie pochodnej
Aby obliczyć pochodną funkcji , przekształcimy ją, korzystając z logarytmowania. Zapiszmy funkcję jako:
Teraz różniczkujemy obie strony względem korzystając z reguły łańcuchowej. Po lewej stronie mamy:
Po prawej stronie korzystamy z reguły iloczynu dla :
Łącząc obie strony, otrzymujemy:
Mnożymy obustronnie przez , aby uzyskać :
Krok 3: Obliczenie
Podstawiamy do wzoru na pochodną:
Wartość , a . Podstawiamy:
Krok 4: Równanie stycznej
Mamy już:
- ,
- .
Podstawiamy te wartości do wzoru na styczną:
Rozwijając to wyrażenie, otrzymujemy:
Upraszczając:
Odpowiedź
Równanie stycznej do funkcji w punkcie to:
Czy chcesz, żebym wyjaśnił któryś krok dokładniej?
5 Powiązanych pytań:
- Jak obliczyć pochodną funkcji logarytmicznej?
- Jak wyprowadzić wzór na styczną dla dowolnej funkcji?
- Jak obliczyć wartości logarytmów naturalnych bez kalkulatora?
- Jakie są własności funkcji ?
- Jak różniczkować funkcje złożone z logarytmami?
Wskazówka: Wartość logarytmu naturalnego jest przydatna w wielu obliczeniach matematycznych, warto ją zapamiętać.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Differentiation
Tangent Lines
Exponential Functions
Logarithmic Differentiation
Formulas
Tangent Line Formula: y = f(a) + f'(a) * (x - a)
Derivative of x^x: f'(x) = x^x * (ln(x) + 1)
Theorems
Product Rule
Chain Rule
Logarithmic Differentiation
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Finding the Tangent Line to f(x) at x = 2 for Exponential Function
Equation of the Tangent Line for e^(2-3x)log(1+x) at x = 0
Finding the Tangent Line to f(x) = 2 ln(x) at x = 3
Find Tangent Line Equation for f(x) = x ln x - x at x = 1
Logarithmic Differentiation and Tangent Line Calculation for y = x^x / (x + 1) at x = 1