Math Problem Statement

Styczna do funkcji f(x) = x^x wzor na styczna to y = f(2) + f'(2) * (x - 2)

Solution

Aby znaleźć równanie stycznej do funkcji f(x)=xxf(x) = x^x w punkcie x=2x = 2, skorzystamy z podanego wzoru na równanie stycznej:

y=f(2)+f(2)(x2),y = f(2) + f'(2) \cdot (x - 2), gdzie f(2)f(2) to wartość funkcji w punkcie x=2x = 2, a f(2)f'(2) to wartość pochodnej funkcji w tym samym punkcie.


Krok 1: Obliczenie f(2)f(2)

Funkcja f(x)=xxf(x) = x^x. Wartość funkcji w punkcie x=2x = 2 wynosi:

f(2)=22=4.f(2) = 2^2 = 4.


Krok 2: Obliczenie pochodnej f(x)f'(x)

Aby obliczyć pochodną funkcji f(x)=xxf(x) = x^x, przekształcimy ją, korzystając z logarytmowania. Zapiszmy funkcję jako:

f(x)=xx    ln(f(x))=ln(xx)=xln(x).f(x) = x^x \implies \ln(f(x)) = \ln(x^x) = x \ln(x).

Teraz różniczkujemy obie strony względem xx korzystając z reguły łańcuchowej. Po lewej stronie mamy:

ddxln(f(x))=f(x)f(x).\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

Po prawej stronie korzystamy z reguły iloczynu dla xln(x)x \ln(x):

ddx[xln(x)]=1ln(x)+x1x=ln(x)+1.\frac{d}{dx} [x \ln(x)] = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) + 1.

Łącząc obie strony, otrzymujemy:

f(x)f(x)=ln(x)+1.\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + 1.

Mnożymy obustronnie przez f(x)=xxf(x) = x^x, aby uzyskać f(x)f'(x):

f(x)=xx(ln(x)+1).f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1).


Krok 3: Obliczenie f(2)f'(2)

Podstawiamy x=2x = 2 do wzoru na pochodną:

f(2)=22(ln(2)+1).f'(2) = 2^2 \cdot (\ln(2) + 1).

Wartość 22=42^2 = 4, a ln(2)0.693\ln(2) \approx 0.693. Podstawiamy:

f(2)=4(0.693+1)=41.6936.772.f'(2) = 4 \cdot (0.693 + 1) = 4 \cdot 1.693 \approx 6.772.


Krok 4: Równanie stycznej

Mamy już:

  • f(2)=4f(2) = 4,
  • f(2)6.772f'(2) \approx 6.772.

Podstawiamy te wartości do wzoru na styczną:

y=f(2)+f(2)(x2).y = f(2) + f'(2) \cdot (x - 2).

y=4+6.772(x2).y = 4 + 6.772 \cdot (x - 2).

Rozwijając to wyrażenie, otrzymujemy:

y=4+6.772x13.544.y = 4 + 6.772x - 13.544.

Upraszczając:

y6.772x9.544.y \approx 6.772x - 9.544.


Odpowiedź

Równanie stycznej do funkcji f(x)=xxf(x) = x^x w punkcie x=2x = 2 to:

y6.772x9.544.y \approx 6.772x - 9.544.


Czy chcesz, żebym wyjaśnił któryś krok dokładniej?

5 Powiązanych pytań:

  1. Jak obliczyć pochodną funkcji logarytmicznej?
  2. Jak wyprowadzić wzór na styczną dla dowolnej funkcji?
  3. Jak obliczyć wartości logarytmów naturalnych bez kalkulatora?
  4. Jakie są własności funkcji xxx^x?
  5. Jak różniczkować funkcje złożone z logarytmami?

Wskazówka: Wartość logarytmu naturalnego ln(2)0.693\ln(2) \approx 0.693 jest przydatna w wielu obliczeniach matematycznych, warto ją zapamiętać.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Differentiation
Tangent Lines
Exponential Functions
Logarithmic Differentiation

Formulas

Tangent Line Formula: y = f(a) + f'(a) * (x - a)
Derivative of x^x: f'(x) = x^x * (ln(x) + 1)

Theorems

Product Rule
Chain Rule
Logarithmic Differentiation

Suitable Grade Level

Grades 11-12