For at finde en ligning for tangenten til grafen for funktionen $f$ i punktet $(2, f(2))$, benytter vi tangentens ligning:

$y = f'(a)(x - a) + f(a),$

hvor $a = 2$, $f(2) = 5$, og $f'(2) = D(f)(2) = -4$.

Trinvis løsning:

1. Identificér værdierne:

   • $a = 2$ (tangentens punkt $x$-værdi),
   • $f(a) = f(2) = 5$ (tangentens punkt $y$-værdi),
   • $f'(a) = D(f)(2) = -4$ (tangentens hældning).

2. Indsæt værdierne i tangentens ligning: $y = f'(2)(x - 2) + f(2).$

   Med $f'(2) = -4$ og $f(2) = 5$: $y = -4(x - 2) + 5.$

3. Forenkl ligningen: $y = -4x + 8 + 5,$ $y = -4x + 13.$

Tangentens ligning:

$y = -4x + 13.$

Har du spørgsmål til fremgangsmåden eller ønsker flere detaljer?

Relaterede spørgsmål:

1. Hvordan bruges tangentens ligning til at finde hældningen i et vilkårligt punkt?
2. Hvordan påvirker $f'(x)$ grafens udseende og hældning?
3. Hvad betyder det, hvis $f'(2)$ var positiv i stedet for negativ?
4. Hvordan finder man skæringspunkterne mellem tangenten og koordinatakserne?
5. Hvordan generaliserer man tangentens ligning til implicitte funktioner?

Tip:

Husk, at hældningen $f'(x)$ også fortæller om grafens monotoni: negativ hældning betyder, at grafen falder i det pågældende punkt.