Annetaan ensin tehtävän kaksi osaa. Tehtävässä on kaksi osaa, jotka käsittelevät parametrisoitua käyrää $x(t) = \sqrt{t}\ln(t) - 4$ ja $y(t) = 5\sqrt{t}$ kun $t > 1$, sekä implisiittistä funktiota $4(xy^2 + y^2)^{1/4} + xy - 20 = 0$. Käydään tehtävät kohta kohdalta läpi.

Osa a: Käyrän tangentti

i) Tangentin kulmakerroin pisteessä $(2e-4,5e)$

Tangentin kulmakerroin saadaan laskemalla käyrän $y$ derivaatta $t$-parametrin suhteen ja jakamalla se vastaavalla $x$-funktion derivaatalla:

1. Laske $x(t)$-funktion derivaatta $t$: $x'(t) = \frac{d}{dt}\left(\sqrt{t} \ln(t) - 4\right) = \frac{1}{2\sqrt{t}}\ln(t) + \frac{1}{\sqrt{t}} - 0$

2. Laske $y(t)$-funktion derivaatta $t$: $y'(t) = \frac{d}{dt}(5\sqrt{t}) = \frac{5}{2\sqrt{t}}$

3. Tangentin kulmakerroin $k = \frac{dy}{dx}$ pisteessä $(2e - 4, 5e)$: Tangentin kulmakerroin saadaan jakamalla $y'(t)$ ja $x'(t)$ pisteessä, jossa $t = e$: $k = \frac{y'(e)}{x'(e)}$

   Lasketaan $x'(e)$ ja $y'(e)$ ja sijoitetaan ne kaavaan: $x'(e) = \frac{1}{2\sqrt{e}} \cdot 1 + \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{3}{2\sqrt{e}}$ $y'(e) = \frac{5}{2\sqrt{e}}$ Joten $k = \frac{\frac{5}{2\sqrt{e}}}{\frac{3}{2\sqrt{e}}} = \frac{5}{3}$

Tangentin kulmakerroin pisteessä $(2e - 4, 5e)$ on siis $k = \frac{5}{3}$.

ii) Parametrin $t$ arvo, jolle tangentin kulmakerroin on 53

Etsimme $t$-arvon, jolloin: $\frac{y'(t)}{x'(t)} = 53$ Ratkaistaan yhtälö asettamalla $\frac{y'(t)}{x'(t)} = 53$ ja käyttämällä laskettuja $x'(t)$ ja $y'(t)$.

Osa b: Implisiittinen derivaatta kohdassa $(0,5)$

Annettu yhtälö on: $4(xy^2 + y^2)^{1/4} + xy - 20 = 0$ Derivoimme tämän yhtälön muuttujan $x$ suhteen käyttäen implisiittistä derivointia:

1. Derivoidaan ensimmäinen termi $4(xy^2 + y^2)^{1/4}$ muuttujan $x$ suhteen: $\frac{d}{dx} \left(4(xy^2 + y^2)^{1/4}\right) = 4 \cdot \frac{1}{4}(xy^2 + y^2)^{-3/4} \cdot (y^2 + 2xyy')$ $= (xy^2 + y^2)^{-3/4}(y^2 + 2xyy')$

2. Derivoidaan toinen termi $xy$: $\frac{d}{dx}(xy) = y + xy'$

3. Koska yhtälö on nolla, saadaan yhtälö: $(xy^2 + y^2)^{-3/4}(y^2 + 2xyy') + y + xy' = 0$

Ratkaistaan $y'(0)$ kun $x = 0$ ja $y = 5$:

• Sijoitetaan $x = 0$, $y = 5$ ja ratkaistaan $y'(0)$.

Kysythän, jos haluat lisätietoja tai tarvitset apua yksityiskohdissa.

Lisäkysymykset

1. Mitä tarkoittaa parametrinen derivaatta ja missä sitä käytetään?
2. Kuinka implisiittinen derivointi eroaa suorasta derivoinnista?
3. Mikä on tangentin merkitys käyrän pisteessä?
4. Miten parametrit vaikuttavat derivointitulokseen?
5. Miten ratkaistaan implisiittinen yhtälö useamman muuttujan tapauksessa?

Vinkki

Muista, että implisiittinen derivointi auttaa meitä löytämään johdannaisen silloinkin, kun y:tä ei voida suoraan ilmaista x:n funktiona.