আপনি যে বক্ররেখার সমীকরণ দিয়েছেন তা হলো:

$y^2 = x^3 + 4\sqrt{1 - x^2}$

এখন, প্রশ্ন হচ্ছে এই বক্ররেখার $x$-অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় করা।

একটি বক্ররেখার $x$-অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শকের সমীকরণ হবে এমন একটি লাইন যার ঢাল (slope) 0 (অথবা $y$-অক্ষের প্রতি সমান্তরাল)। এর জন্য, প্রথমে বক্ররেখাটির ডেরিভেটিভ (slope of the tangent) বের করতে হবে। তারপর, স্পর্শক রেখার সাপেক্ষে $y' = 0$ হওয়ার শর্ত পূর্ণ করতে হবে।

1. বক্ররেখার ডেরিভেটিভ নির্ণয়:

প্রথমে, বক্ররেখার সমীকরণকে $y^2 = f(x)$ হিসাবে লিখি:

$y^2 = x^3 + 4\sqrt{1 - x^2}$

এখন, দুই পার্শ্বের ডিফারেনশিয়েশন করি $x$ এর ক্ষেত্রে। মনে রাখবেন, ডেরিভেটিভ করতে হলে $y$-এর ক্ষেত্রেও চেইন রুল প্রয়োগ করতে হবে।

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4 \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

এখন $\frac{dy}{dx}$ (যেটা হলো বক্ররেখার ঢাল) বের করতে:

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2 - \frac{4x}{\sqrt{1 - x^2}}}{2y}$

2. $x$-অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শক:

এখন $x$-অক্ষের সমান্তরাল স্পর্শকের জন্য, আমরা চাই $\frac{dy}{dx} = 0$। অর্থাৎ:

$3x^2 - \frac{4x}{\sqrt{1 - x^2}} = 0$

এখন, এই সমীকরণ সমাধান করে $x$-এর মান বের করতে হবে।

3. সমীকরণ সমাধান:

$3x^2 = \frac{4x}{\sqrt{1 - x^2}}$

দ্বিপদী সমীকরণ সমাধান করলে, আমরা পাবো $x$-এর মান। এর পরে, সেই মানে $y$-এর মান বের করে স্পর্শকের সমীকরণ তৈরি করতে হবে।

এটা ছিল মূল পদক্ষেপের ধারণা। যদি আপনি আরও বিস্তারিত চান, আমি আপনাকে সমীকরণের সমাধান করতে সাহায্য করতে পারি।

আপনার কোনো প্রশ্ন থাকলে জানাবেন!

---

অন্যান্য প্রশ্ন:

1. চেইন রুল কীভাবে কাজ করে, তা ব্যাখ্যা করুন।
2. $y' = 0$ হওয়ার শর্তটি কিভাবে প্রমাণ করা হয়?
3. বক্ররেখার স্পর্শক নির্ণয়ের জন্য কোন অন্য পদ্ধতি ব্যবহৃত হতে পারে?
4. এরকম আরো কিভাবে প্রকারভেদ করা যায় বক্ররেখার ঢাল?
5. ডিফারেনশিয়েশন ও ইন্টিগ্রেশন সম্পর্কিত বিভিন্ন রুল কি কি?

টিপ: বক্ররেখার স্পর্শক চিহ্নিত করতে, প্রথমে ডেরিভেটিভ বের করে তারপর স্পর্শক সমীকরণে ঢাল $y' = 0$ করার পদ্ধতি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।