この問題では、直角三角形ABCを辺ACを回転軸として一回転させてできる立体の表面積を求める問題です。

解法の手順

1. 三角形ABCの情報整理:

   • 辺ABの長さ = 8cm
   • ∠C = 90° (直角三角形)
   • 辺ACを回転軸として一回転させます。

   まず、三角形ABCの辺ACと辺BCの長さを求めます。三角形ABCは直角三角形ですから、ピタゴラスの定理を使います。

   $AB^2 = AC^2 + BC^2$ $8^2 = AC^2 + BC^2$ $64 = AC^2 + BC^2$

   ここで、辺ACの長さがわからないので、ACを $x$ とおいて、BCの長さを求める必要があります。

2. 回転後の立体は円環の断面となる: 三角形ABCを辺ACを回転軸として回転させると、立体は円環状（円環断面）となります。側面の形状が中心角135°のおうぎ形となるとのことなので、この円環状立体の側面積を求めます。

3. 立体の表面積の計算:

   • 円環の外円と内円の面積を使って、立体の表面積を求めます。

   • 側面の中心角が135°であるため、円の周の一部であることを意味します。

表面積の計算にあたり、詳細な数学式の組み立てが必要です。