Die Aufgabe 1 im hochgeladenen Hausaufgabenblatt lautet:

Aufgabe 1 (Suprema und Folgen): Sei $M \subseteq \mathbb{R}$ und sei $c \in \mathbb{R}$ eine obere Schranke von $M$. Zeigen Sie: Falls es eine Folge $(z_n)_{n \in \mathbb{N}}$ in $M$ gibt, die gegen $c$ konvergiert, dann ist $c = \sup M$【7†source】.

Lösung:

1. Definition des Supremums und der oberen Schranke:

   • $c$ ist eine obere Schranke von $M$, falls $\forall x \in M : x \leq c$.
   • Das Supremum $\sup M$ ist die kleinste obere Schranke von $M$.

2. Konvergenz der Folge: Da $(z_n) \subseteq M$ ist und gegen $c$ konvergiert, gilt:

   • Für jedes $\varepsilon > 0$ gibt es ein $N \in \mathbb{N}$, sodass für $n \geq N$ die Ungleichung $|z_n - c| < \varepsilon$ erfüllt ist. Insbesondere gilt $z_n \to c$.

3. Eigenschaften von $c$:

   • Da $z_n \in M$ gilt, ist $c$ eine obere Schranke von $M$.
   • Angenommen, $c$ sei nicht das Supremum von $M$, dann gäbe es eine obere Schranke $c' < c$. Da $z_n \to c$, muss jedoch ab einem bestimmten Index $z_n > c'$ gelten, was $c'$ disqualifiziert als obere Schranke.
   • Daher ist $c$ das Supremum.

4. Schluss: Die Behauptung $c = \sup M$ ist gezeigt, da $c$ sowohl eine obere Schranke ist als auch keine andere obere Schranke kleiner als $c$ existieren kann.

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Möchten Sie eine ausführlichere Erklärung oder Beispiele zu Supremumsberechnungen? Alternativ können wir zu einer anderen Aufgabe auf dem Blatt übergehen.

Vertiefungsfragen:

1. Was unterscheidet das Supremum von einem Maximum?
2. Wie hängt die Konvergenz einer Folge mit der Vollständigkeit von $\mathbb{R}$ zusammen?
3. Kann eine nicht-konvergente Folge auch eine obere Schranke "erzwingen"?
4. Was ist die Beziehung zwischen oberen Schranken und Supremumsnormen?
5. Wie lässt sich das Supremum geometrisch interpretieren?

Tipp: Üben Sie Beweise über Konvergenz und Supremumsdefinitionen, da sie zentral für viele Analysis-Aufgaben sind.