A feladatot úgy oldjuk meg, hogy a számtani sorozat összegének képletét alkalmazzuk. A számtani sorozat összege az alábbi képlettel számolható:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1) \cdot d)$

ahol:

• $S_n$ az első $n$ tag összege,
• $a_1$ az első tag,
• $d$ a differencia,
• $n$ a tagok száma.

A feladatban:

• $a_1 = 5$,
• $d = 2$,
• $S_n = 357$.

Most behelyettesítjük az ismert értékeket a képletbe:

$357 = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 5 + (n-1) \cdot 2)$

Egyszerűsítjük:

$357 = \frac{n}{2} \cdot (10 + 2(n-1))$ $357 = \frac{n}{2} \cdot (10 + 2n - 2)$ $357 = \frac{n}{2} \cdot (2n + 8)$ $357 = n \cdot (n + 4)$

Most szorozzuk ki és egyenlővé tesszük nullával:

$357 = n^2 + 4n$ $n^2 + 4n - 357 = 0$

Ez egy másodfokú egyenlet, amelyet a másodfokú képlettel oldunk meg:

$n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Itt $a = 1$, $b = 4$, és $c = -357$, tehát:

$n = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-357)}}{2 \cdot 1}$ $n = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1428}}{2}$ $n = \frac{-4 \pm \sqrt{1444}}{2}$ $n = \frac{-4 \pm 38}{2}$

Most két megoldásunk van:

$n = \frac{-4 + 38}{2} = \frac{34}{2} = 17$ vagy $n = \frac{-4 - 38}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Mivel a tagok száma nem lehet negatív, a megoldás: $n = 17$.

Tehát 17 tagot adtunk össze.

---

Szeretnél további részleteket a feladatról?

5 további kérdés:

1. Hogyan alkalmazható a számtani sorozat összegének képlete más típusú feladatokban?
2. Mi történik, ha a differencia negatív a számtani sorozatban?
3. Hogyan oldhatók meg másodfokú egyenletek egyszerűen?
4. Mi a különbség a számtani és a mértani sorozat között?
5. Hogyan ellenőrizhető a számtani sorozat összegének helyessége?

Tipp:

Ha másodfokú egyenletet kell megoldanod, mindig először próbáld meg egyszerűsíteni, hogy a megoldás könnyebben átlátható legyen.