Untuk menunjukkan bahwa $S = \sum_{i=1}^{n} X_i$ adalah statistik cukup untuk parameter $\theta$, kita dapat menggunakan Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson. Menurut kriteria ini, sebuah statistik $T(X_1, X_2, \dots, X_n)$ adalah statistik cukup untuk parameter $\theta$ jika dan hanya jika fungsi likelihood dapat difaktorkan ke dalam dua bagian: satu bagian yang tergantung pada $T(X_1, X_2, \dots, X_n)$ dan $\theta$, dan satu bagian yang tidak tergantung pada $\theta$.

Langkah 1: Tentukan Likelihood Function

Diberikan bahwa $X_1, X_2, \dots, X_n$ adalah sampel acak dari distribusi eksponensial dengan PDF $f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x}$, untuk $0 < x < \infty$, kita dapat menuliskan fungsi likelihood $L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n)$ sebagai:

$L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta e^{-\theta x_i}.$

Karena $f(x_i; \theta) = \theta e^{-\theta x_i}$, kita dapat menuliskan likelihood sebagai:

$L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} x_i}.$

Langkah 2: Faktor Likelihood

Kita lihat bahwa likelihood dapat ditulis sebagai:

$L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n e^{-\theta S},$ di mana $S = \sum_{i=1}^{n} x_i$.

Fungsi likelihood ini dapat difaktorkan menjadi dua bagian:

1. Bagian pertama, $\theta^n e^{-\theta S}$, tergantung pada $\theta$ dan $S$.
2. Bagian kedua, tidak ada karena seluruh fungsi likelihood tergantung pada $\theta$ dan $S$.

Langkah 3: Kesimpulan

Karena likelihood $L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n)$ dapat ditulis hanya sebagai fungsi dari $S = \sum_{i=1}^{n} x_i$ dan $\theta$, maka menurut Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson, $S$ adalah statistik cukup untuk $\theta$.

Kesimpulan Akhir:

Statistik $S = \sum_{i=1}^{n} X_i$ adalah statistik cukup untuk parameter $\theta$.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang faktorisasi atau Neyman-Pearson? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa hubungan antara statistik cukup dan statistik efisien?
2. Bagaimana cara menghitung penduga maksimum likelihood (MLE) untuk $\theta$?
3. Bagaimana statistik cukup digunakan dalam pengujian hipotesis?
4. Apa contoh lain distribusi di mana kita dapat menentukan statistik cukup?
5. Apa implikasi statistik cukup dalam pengambilan keputusan?

Tip: Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson adalah alat yang sangat berguna dalam teori estimasi karena memungkinkan kita untuk menentukan statistik yang merangkum semua informasi yang relevan tentang parameter yang diminati.