Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusi dengan PDF f(x; θ) = θe−θx , 0 < x < ∞, θ > 0 dan 0 untuk x lainnya. Tunjukkan bahwa S = Pn i=1 Xi statistik cukup untuk θ.

Untuk menunjukkan bahwa \( S = \sum_{i=1}^{n} X_i \) adalah statistik cukup untuk parameter \( \theta \), kita dapat menggunakan **Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson**. Menurut kriteria ini, sebuah statistik \( T(X_1, X_2, \dots, X_n) \) adalah statistik cukup untuk parameter \( \theta \) jika dan hanya jika fungsi likelihood dapat difaktorkan ke dalam dua bagian: satu bagian yang tergantung pada \( T(X_1, X_2, \dots, X_n) \) dan \( \theta \), dan satu bagian yang tidak tergantung pada \( \theta \).

### Langkah 1: Tentukan Likelihood Function
Diberikan bahwa \( X_1, X_2, \dots, X_n \) adalah sampel acak dari distribusi eksponensial dengan PDF \( f(x; \theta) = \theta e^{-\theta x} \), untuk \( 0 < x < \infty \), kita dapat menuliskan fungsi likelihood \( L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) \) sebagai:

\[
L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta e^{-\theta x_i}.
\]

Karena \( f(x_i; \theta) = \theta e^{-\theta x_i} \), kita dapat menuliskan likelihood sebagai:

\[
L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} x_i}.
\]

### Langkah 2: Faktor Likelihood
Kita lihat bahwa likelihood dapat ditulis sebagai:

\[
L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n e^{-\theta S},
\]
di mana \( S = \sum_{i=1}^{n} x_i \).

Fungsi likelihood ini dapat difaktorkan menjadi dua bagian:
1. Bagian pertama, \( \theta^n e^{-\theta S} \), tergantung pada \( \theta \) dan \( S \).
2. Bagian kedua, tidak ada karena seluruh fungsi likelihood tergantung pada \( \theta \) dan \( S \).

### Langkah 3: Kesimpulan
Karena likelihood \( L(\theta; x_1, x_2, \dots, x_n) \) dapat ditulis hanya sebagai fungsi dari \( S = \sum_{i=1}^{n} x_i \) dan \( \theta \), maka menurut Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson, \( S \) adalah statistik cukup untuk \( \theta \).

### Kesimpulan Akhir:
Statistik \( S = \sum_{i=1}^{n} X_i \) adalah statistik cukup untuk parameter \( \theta \).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut tentang faktorisasi atau Neyman-Pearson? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Apa hubungan antara statistik cukup dan statistik efisien?
2. Bagaimana cara menghitung penduga maksimum likelihood (MLE) untuk \( \theta \)?
3. Bagaimana statistik cukup digunakan dalam pengujian hipotesis?
4. Apa contoh lain distribusi di mana kita dapat menentukan statistik cukup?
5. Apa implikasi statistik cukup dalam pengambilan keputusan?

**Tip:** Kriteria Faktorisasi Neyman-Pearson adalah alat yang sangat berguna dalam teori estimasi karena memungkinkan kita untuk menentukan statistik yang merangkum semua informasi yang relevan tentang parameter yang diminati.

Learn how to prove that the sum S = ∑X_i is a sufficient statistic for the parameter θ using the Neyman-Pearson Factorization Criterion. This example involves deriving the likelihood function for a sample from an exponential distribution and demonstrating the factorization required for sufficiency.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation