Aby obliczyć krok po kroku pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{x}$, postępujemy w następujący sposób:

---

Krok 1: Zapisz pierwiastek kwadratowy w postaci potęgi

Pierwiastek kwadratowy można zapisać jako potęgę o wykładniku $\frac{1}{2}$: $f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

---

Krok 2: Skorzystaj z reguły potęgowej do obliczenia pochodnej

Reguła potęgowa mówi, że pochodna $x^n$ wynosi: $\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1}$

Tutaj $n = \frac{1}{2}$, więc: $\frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1}$

---

Krok 3: Upraszczanie wykładników

Obliczamy $\frac{1}{2} - 1$: $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$

Zatem pochodna wygląda teraz tak: $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

---

Krok 4: Zapisz wynik w formie pierwiastka

Wyrażenie $x^{-\frac{1}{2}}$ można przekształcić na: $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Podstawiamy to do równania: $\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

---

Ostateczny wynik:

$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

---

Czy chcesz dodatkowe wyjaśnienia lub przykład zastosowania?

5 Pytania rozszerzające:

1. Jak wygląda proces obliczania pochodnych funkcji o większych wykładnikach, np. $x^{\frac{3}{2}}$?
2. Jak zastosować ten wynik do obliczenia stycznej do wykresu $f(x) = \sqrt{x}$ w danym punkcie?
3. W jaki sposób pochodna $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ wpływa na monotoniczność funkcji $\sqrt{x}$?
4. Jak obliczyć drugą pochodną funkcji $\sqrt{x}$?
5. Czy można tę samą metodę zastosować do pierwiastków wyższego rzędu, np. $\sqrt[3]{x}$?

Tip: Zawsze przekształcaj pierwiastki na potęgi, aby łatwiej obliczać pochodne za pomocą reguły potęgowej