Metode Steepest Descent adalah teknik optimasi yang menggunakan arah gradien negatif sebagai arah penurunan fungsi. Dalam kasus ini, kita ingin meminimumkan fungsi $f(x, y) = x^2 + y^2$ dengan tebakan awal $(x_0, y_0) = (1, 1)$. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

Langkah 1: Hitung gradien fungsi $\nabla f(x, y)$

Gradien dari $f(x, y)$ adalah: $\nabla f(x, y) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x \\ 2y \end{bmatrix}.$ Untuk $(x_0, y_0) = (1, 1)$: $\nabla f(1, 1) = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}.$

Langkah 2: Tentukan langkah perpindahan

Arah perpindahan adalah $-\nabla f(x, y)$, yaitu arah gradien negatif: $d_0 = -\nabla f(1, 1) = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}.$

Langkah 3: Tentukan panjang langkah ($\alpha$)

Panjang langkah $\alpha$ dapat ditentukan dengan mencari nilai $\alpha$ yang meminimumkan $f(x_1, y_1)$. Misalkan: $x_1 = x_0 + \alpha d_{0x}, \quad y_1 = y_0 + \alpha d_{0y}.$ Substitusi $x_1$ dan $y_1$ ke dalam $f(x, y)$: $f(x_1, y_1) = (1 + \alpha (-2))^2 + (1 + \alpha (-2))^2.$ $f(x_1, y_1) = (1 - 2\alpha)^2 + (1 - 2\alpha)^2.$ $f(x_1, y_1) = 2(1 - 2\alpha)^2.$ Minimalkan fungsi ini dengan menghitung turunan terhadap $\alpha$: $\frac{d}{d\alpha} [2(1 - 2\alpha)^2] = 4(1 - 2\alpha)(-2) = -16(1 - 2\alpha).$ Set $\frac{d}{d\alpha} = 0$ untuk menemukan $\alpha$: $-16(1 - 2\alpha) = 0 \implies \alpha = \frac{1}{2}.$

Langkah 4: Hitung titik baru $(x_1, y_1)$

Gunakan $\alpha = \frac{1}{2}$ untuk menghitung $(x_1, y_1)$: $x_1 = 1 + \frac{1}{2}(-2) = 0, \quad y_1 = 1 + \frac{1}{2}(-2) = 0.$

Langkah 5: Hitung $f(x_1, y_1)$

Substitusi $(x_1, y_1) = (0, 0)$ ke dalam $f(x, y)$: $f(x_1, y_1) = 0^2 + 0^2 = 0.$

Jawaban

Nilai $f(x_1, y_1)$ adalah 0.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail? Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat memperluas pemahaman Anda:

1. Apa perbedaan antara metode Steepest Descent dan metode Newton?
2. Bagaimana cara menentukan panjang langkah ($\alpha$) tanpa menurunkan fungsi secara analitis?
3. Apa yang terjadi jika fungsi tidak kuadratik? Apakah metode ini tetap efisien?
4. Bagaimana pengaruh tebakan awal terhadap hasil akhir optimasi?
5. Dapatkah metode ini digunakan untuk memaksimalkan fungsi? Jika ya, bagaimana?

Tip: Dalam penerapan metode Steepest Descent, normalisasi gradien sering dilakukan untuk menjaga stabilitas jika gradien sangat besar.