سلام! اینجا اشاره به سیگنال‌های ایستا (stationary) هست که از درس مخابرات گرفته شده. حالا بیایم با هم بررسی کنیم چرا اینجا گفته "بر حسب زمان نیست":

در خط آخر، داریم میانگین زمانی یا میانگین آماری یک سیگنال را محاسبه می‌کنیم.

1. عبارت کسینوسی ($A\cos(\omega_0 t + \phi)$) در این معادله، شامل $t$ هست، اما زمانی که داریم مقدار میانگین ریاضی یا انتظار از این سیگنال را می‌گیریم، داریم تغییرات $t$ را حذف می‌کنیم.

2. توزیع $\phi$: در اینجا $\phi$ یک متغیر تصادفی یکنواخت در بازه $[-\pi, \pi]$ است. وقتی انتگرال نسبت به $\phi$ گرفته می‌شود، جزء متغیر زمانی حذف می‌شود، چون کسینوس با توزیع یکنواخت $\phi$ در بازه $[-\pi, \pi]$ در طول زمان میانگین صفر دارد.

3. نتیجه میانگین: بعد از محاسبه انتگرال، چون وابستگی به $t$ از بین رفته، نتیجه نهایی تابعی بر حسب زمان نخواهد بود. این همان دلیل اصلی است که گفته "بر حسب زمان نیست". نتیجه نهایی فقط به مقادیر آماری $A$ و توزیع احتمالات مربوط است.

آیا نیاز به توضیح جزئی‌تر داری؟

5 سوال مرتبط:

1. چرا میانگین ریاضی $\cos(\omega_0 t + \phi)$ در بازه‌ای یکنواخت صفر می‌شود؟
2. چگونه سیگنال‌های ایستا و غیرایستا را تشخیص می‌دهیم؟
3. توزیع یکنواخت $\phi$ چه نقشی در محاسبات انتگرال دارد؟
4. چه نوع سیگنال‌هایی به صورت ایستا مدل‌سازی می‌شوند؟
5. آیا این نتیجه در حالت‌های غیرایستا هم صدق می‌کند؟

یک نکته:

سیگنال‌های ایستا ویژگی‌های آماری‌شان (مانند میانگین و واریانس) در طول زمان ثابت هستند، اما برای سیگنال‌های غیرایستا، این ویژگی‌ها با زمان تغییر می‌کنند.