Στις μαρκοβιανές αλυσίδες, η στασιμή κατανομή και η σταθερή κατάσταση συνδέονται στενά, αλλά δεν είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα. Ας διευκρινίσουμε:

1. Στασιμή Κατανομή:

• Είναι μια κατανομή πιθανότητας $\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)$ που ικανοποιεί τη σχέση ισορροπίας: $\pi P = \pi,$ όπου $P$ είναι ο πίνακας μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας.
• Δηλαδή, αν η αλυσίδα ξεκινήσει από αυτήν την κατανομή, η κατανομή παραμένει αμετάβλητη μετά από οποιοδήποτε αριθμό βημάτων.
• Η στασιμή κατανομή υπάρχει μόνο εάν η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη εκφυλισμένη, μη αραιή, και εργοδική (δηλαδή, είναι αδιάσπαστη και επαναληπτική).

2. Σταθερή Κατάσταση:

• Η σταθερή κατάσταση μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας αναφέρεται στο μακροπρόθεσμο συμπεριφορά της αλυσίδας, όπου η κατανομή τείνει προς μία μοναδική κατανομή (αν υπάρχει), ανεξάρτητα από την αρχική κατάσταση.
• Αν η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδική, η κατανομή που προκύπτει στο άπειρο είναι η στασιμή κατανομή.
• Συνεπώς, η στασιμή κατανομή είναι και η σταθερή κατάσταση όταν η αλυσίδα συγκλίνει.

Διαφορές:

• Η στασιμή κατανομή είναι θεωρητική έννοια και ορίζεται από την ιδιότητα $\pi P = \pi$.
• Η σταθερή κατάσταση αναφέρεται στη μακροπρόθεσμη συμπεριφορά της αλυσίδας και προκύπτει μέσω σύγκλισης προς τη στασιμή κατανομή (εφόσον υπάρχει).

Συμπέρασμα:

Είναι ισοδύναμες έννοιες όταν μιλάμε για εργοδικές Μαρκοβιανές αλυσίδες. Σε μη εργοδικές αλυσίδες, μπορεί να μην υπάρχει μοναδική στασιμή κατανομή ή η αλυσίδα να μην συγκλίνει καθόλου.

Θα θέλατε περισσότερες πληροφορίες για συγκεκριμένο παράδειγμα ή αποσαφήνιση;

5 Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Τι είναι οι εργοδικές Μαρκοβιανές αλυσίδες και πώς διασφαλίζεται η ύπαρξη στασιμής κατανομής;
2. Πώς υπολογίζεται πρακτικά μια στασιμή κατανομή;
3. Μπορεί μια Μαρκοβιανή αλυσίδα να έχει περισσότερες από μία στασιμές κατανομές;
4. Πώς επηρεάζει ο τύπος του πίνακα μετάβασης τη σύγκλιση στη στασιμή κατανομή;
5. Ποιες είναι οι εφαρμογές της στασιμής κατανομής σε πραγματικά προβλήματα;

Tip:

Για να εξετάσετε αν μια κατανομή είναι στασιμή, επαληθεύστε ότι $\pi P = \pi$ και ότι τα στοιχεία της κατανομής είναι μη αρνητικά και αθροίζονται στο 1.