Для исследования устойчивости замкнутой импульсной системы, рассмотрим характеристическое уравнение:

$z^2 - z + 1 = 0$

Условие устойчивости дискретных систем:

Система устойчива, если все корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности на комплексной плоскости, т.е., их модули $|z| < 1$.

Шаги решения:

1. Найдём корни характеристического уравнения: Используем формулу корней квадратного уравнения: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$ где $a = 1$, $b = -1$, $c = 1$.

   Подставляем значения: $z = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}.$ $z = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2}.$ $z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}.$

   Вычисляем: $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}.$

   Корни: $z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}.$

2. Найдём модули корней: Для комплексного числа $z = x + yi$, модуль равен: $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}.$

   Для $z_1 = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$: $x = \frac{1}{2}, \quad y = \frac{\sqrt{3}}{2}.$ $|z_1| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}.$ $|z_1| = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1.$

   Аналогично для $z_2 = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$: $|z_2| = 1.$

3. Вывод об устойчивости: Модули обоих корней равны единице ($|z_1| = |z_2| = 1$). Это значит, что корни лежат на единичной окружности, а не внутри неё.

   Таким образом, система на границе устойчивости. Если параметры системы изменятся, её поведение может стать неустойчивым.

---

Резюме:

Характеристическое уравнение $z^2 - z + 1 = 0$ имеет корни с модулями, равными 1, поэтому замкнутая импульсная система не устойчива в строгом смысле, но является на границе устойчивости.

---

Хотите более детальное объяснение или графическое представление корней на комплексной плоскости?

Связанные вопросы:

1. Что означает "на границе устойчивости" в практическом смысле для системы?
2. Как графически построить корни на комплексной плоскости?
3. Какие изменения в характеристическом уравнении могут привести к устойчивости?
4. Каковы условия устойчивости в аналогичных непрерывных системах?
5. Какие практические примеры импульсных систем имеют характеристическое уравнение такого вида?

Совет:

При анализе устойчивости всегда полезно дополнительно проверить поведение системы в частотной области.