Pour résoudre l'équation complexe suivante :

$Z^2 + Z + 1 = 0$

on peut suivre ces étapes :

Étape 1 : Identifier les coefficients

L'équation est de la forme $Z^2 + Z + 1 = 0$, donc :

• $a = 1$
• $b = 1$
• $c = 1$

Étape 2 : Calculer le discriminant

Pour une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, le discriminant est donné par :

$\Delta = b^2 - 4ac$

Dans notre cas : $\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3$

Étape 3 : Résoudre avec un discriminant négatif

Lorsque $\Delta < 0$, les solutions sont complexes. Elles sont données par :

$Z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Ici, $a = 1$ et $b = 1$, donc :

$Z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}$

Étape 4 : Simplifier les solutions

Puisque $\sqrt{-3} = i\sqrt{3}$, on peut écrire :

$Z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

Ainsi, les solutions de l'équation sont :

$Z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad Z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

Conclusion

Les solutions complexes de l'équation $Z^2 + Z + 1 = 0$ sont : $Z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad Z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

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1. Quelles sont les propriétés des racines cubiques de l'unité ?
2. Comment factoriser $Z^2 + Z + 1 = 0$ à l'aide des solutions trouvées ?
3. Pourquoi le discriminant négatif implique-t-il des solutions complexes ?
4. Comment représenter graphiquement $Z_1$ et $Z_2$ dans le plan complexe ?
5. Que signifie géométriquement la somme des racines de cette équation complexe ?

Astuce : Les racines de $Z^2 + Z + 1 = 0$ sont en réalité les racines cubiques de l’unité, à l'exception de 1.