calcule moi le nombre complexe (E1): Z^2+Z+1=0

Pour résoudre l'équation complexe suivante :

\[
Z^2 + Z + 1 = 0
\]

on peut suivre ces étapes :

### Étape 1 : Identifier les coefficients

L'équation est de la forme \( Z^2 + Z + 1 = 0 \), donc :
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = 1 \)

### Étape 2 : Calculer le discriminant

Pour une équation du second degré de la forme \( ax^2 + bx + c = 0 \), le discriminant est donné par :

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Dans notre cas :
\[
\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = -3
\]

### Étape 3 : Résoudre avec un discriminant négatif

Lorsque \( \Delta < 0 \), les solutions sont complexes. Elles sont données par :

\[
Z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\]

Ici, \( a = 1 \) et \( b = 1 \), donc :

\[
Z = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2}
\]

### Étape 4 : Simplifier les solutions

Puisque \( \sqrt{-3} = i\sqrt{3} \), on peut écrire :

\[
Z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}
\]

Ainsi, les solutions de l'équation sont :

\[
Z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad Z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]

### Conclusion

Les solutions complexes de l'équation \( Z^2 + Z + 1 = 0 \) sont :
\[
Z_1 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad Z_2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}
\]

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

---

1. Quelles sont les propriétés des racines cubiques de l'unité ?
2. Comment factoriser \( Z^2 + Z + 1 = 0 \) à l'aide des solutions trouvées ?
3. Pourquoi le discriminant négatif implique-t-il des solutions complexes ?
4. Comment représenter graphiquement \( Z_1 \) et \( Z_2 \) dans le plan complexe ?
5. Que signifie géométriquement la somme des racines de cette équation complexe ?

**Astuce :** Les racines de \( Z^2 + Z + 1 = 0 \) sont en réalité les racines cubiques de l’unité, à l'exception de 1.

Discover the solutions to the complex equation Z^2 + Z + 1 = 0 through a comprehensive step-by-step guide. This explanation involves calculating the discriminant and solving for complex roots. Ideal for high school students studying complex numbers.

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