Math Problem Statement

این سوال مربوط به درس کنترل خطی هستش. میتونی کمکم کنی تو حل کردنش؟ چجوری حل میشه؟ میشه کامل و تشریحی حل کنی. جواب آخرش رو هم میخوام

این سوال مربوط به درس کنترل خطی هستش. میتونی کمکم کنی تو حل کردنش؟ چجوری حل میشه؟ میشه کامل و تشریحی حل کنی. جواب آخرش رو هم میخوام

Solution

برای حل این مسئله به صورت تشریحی، ابتدا متن سؤال و مفهوم مسئله را بررسی می‌کنیم.

صورت مسئله:

  1. سیستم مشخصه‌ای با معادله‌ی Δ(s)=2s3+6s2+k1s+k2\Delta(s) = 2s^3 + 6s^2 + k_1s + k_2 داده شده است.
    • الف: ناحیه‌ای از مقادیر k1k_1 و k2k_2 که سیستم فوق پایدار و ورودی-خروجی پایدار است، مشخص شده و ناحیه k2−k1k_2-k_1 در صفحه رسم شود.
    • ب: تعیین کنید چه مقادیری از k1k_1 و k2k_2 باعث می‌شود قطب‌های سیستم فوق مقادیر حقیقی کمتر یا مساوی −1-1 داشته باشند.

تشریح حل سؤال:

مرحله 1: بررسی پایداری سیستم

سیستم خطی فوق پایدار است اگر تمام ریشه‌های معادله مشخصه Δ(s)\Delta(s) دارای قسمت حقیقی منفی باشند. به عبارتی، شرط پایداری این است که تمام ریشه‌ها در سمت چپ صفحه مختلط قرار بگیرند.

برای بررسی پایداری، از معیار راث-هورویتز استفاده می‌کنیم.

مرحله 2: تشکیل جدول راث

معادله مشخصه به صورت زیر است: Δ(s)=2s3+6s2+k1s+k2\Delta(s) = 2s^3 + 6s^2 + k_1s + k_2

برای ساخت جدول راث:

  • سطر اول: ضرایب s3s^3 و s1s^1: 22, k1k_1
  • سطر دوم: ضرایب s2s^2 و s0s^0: 66, k2k_2

جدول راث:

s^3 & 2 & k_1 \\ s^2 & 6 & k_2 \\ s^1 & \frac{6k_1 - 2k_2}{6} & 0 \\ s^0 & k_2 & - \end{array}$$ ##### شروط پایداری: 1. تمام عناصر ستون اول باید مثبت باشند: - $$2 > 0$$ - $$6 > 0$$ - $$\frac{6k_1 - 2k_2}{6} > 0 \implies 6k_1 - 2k_2 > 0 \implies 3k_1 > k_2$$ - $$k_2 > 0$$ --- #### مرحله 3: رسم ناحیه پایداری در صفحه $$k_1$$ و $$k_2$$ با توجه به شروط: 1. $$3k_1 > k_2$$ 2. $$k_2 > 0$$ این ناحیه در صفحه $$k_1$$-$$k_2$$ مشخص شده و یک مثلث در ربع اول صفحه مختلط تشکیل می‌دهد. --- #### مرحله 4: بررسی قسمت (ب) برای اینکه قطب‌ها مقادیر حقیقی کمتر یا مساوی $$-1$$ داشته باشند: - باید $$s = -1$$ جایگذاری شود تا معادله قطب‌ها بررسی گردد: $$\Delta(-1) = 2(-1)^3 + 6(-1)^2 + k_1(-1) + k_2 \geq 0$$ ساده‌سازی معادله: $$-2 + 6 - k_1 + k_2 \geq 0 \implies 4 - k_1 + k_2 \geq 0 \implies k_1 - k_2 \leq 4$$ --- ### نتایج نهایی: - **الف:** ناحیه پایداری: $$k_2 > 0$$ و $$3k_1 > k_2$$. - **ب:** برای اینکه قطب‌ها کمتر یا مساوی $$-1$$ باشند: $$k_1 - k_2 \leq 4$$. آیا نیاز به رسم ناحیه یا توضیحات بیشتری دارید؟ #### سوالات پیشنهادی: 1. معیار راث-هورویتز چگونه برای سیستم‌های مرتبه بالا استفاده می‌شود؟ 2. چه ارتباطی بین قطب‌های سیستم و پایداری وجود دارد؟ 3. چگونه می‌توان قطب‌های سیستم را مستقیماً محاسبه کرد؟ 4. آیا تغییر پارامترهای $$k_1$$ و $$k_2$$ بر ناحیه پایداری تأثیر دارد؟ 5. چه تفاوتی بین پایداری مطلق و ورودی-خروجی پایدار وجود دارد؟ #### نکته: برای سیستم‌های مرتبه بالاتر، استفاده از نرم‌افزارهایی مثل MATLAB برای رسم نواحی توصیه می‌شود.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Control Systems
System Stability
Routh-Hurwitz Criterion
Pole Placement

Formulas

Δ(s) = 2s^3 + 6s^2 + k1s + k2
Conditions for Routh-Hurwitz: All coefficients in the first column must be positive.
Real pole check: Δ(-1) ≥ 0.

Theorems

Routh-Hurwitz Stability Criterion

Suitable Grade Level

Undergraduate (Engineering Students)

Related Recommendation

Find the Range of K for Stability of a System - Characteristic Equation Analysis

Using Routh-Hurwitz Criterion to Find Oscillatory System Conditions

Step-by-Step Solutions for Linear Control Systems Problems

Stability Analysis of Discrete Systems: Characteristic Equation z^2 - z + 1 = 0

Stability Analysis Using Bode Plot for Transfer Function G(s) = s(s+10)(s+50) / 2000(s+0.5)