6.
Sketsakan fungsi 𝑢(𝑥), 𝑙(𝑥), dan 𝑓(𝑥), yaitu
𝑢(𝑥) = 1,
𝑙(𝑥) = 1 − 𝑥
2
, dan
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠
2
𝑥.
Gunakan grafik ini menggunakan Teorema Squeeze untuk menentukan
𝑥 0
lim
→
𝑓(𝑥).

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan **Teorema Squeeze (Teorema Jepit)**, yang menyatakan bahwa jika ada tiga fungsi \( u(x) \), \( f(x) \), dan \( l(x) \) di mana \( l(x) \leq f(x) \leq u(x) \) untuk semua \( x \) dalam suatu interval, dan jika \( \lim_{x \to x_0} l(x) = \lim_{x \to x_0} u(x) = L \), maka \( \lim_{x \to x_0} f(x) = L \).

Diketahui fungsi-fungsi berikut:
- \( u(x) = 1 \)
- \( l(x) = 1 - x^2 \)
- \( f(x) = \cos^2(x) \)

### Langkah-langkah:

1. **Membuat batasan fungsi:**
   Kita ingin menentukan \( \lim_{x \to 0} f(x) \). Dengan menggunakan Teorema Squeeze, kita harus memastikan bahwa fungsi \( f(x) \) terjepit antara \( u(x) \) dan \( l(x) \).

   Dari sifat-sifat fungsi \( \cos^2(x) \), kita tahu bahwa:
   \[
   0 \leq \cos^2(x) \leq 1
   \]
   sehingga \( f(x) = \cos^2(x) \) berada di antara \( l(x) \) dan \( u(x) \).

   Perhatikan bahwa:
   \[
   1 - x^2 \leq \cos^2(x) \leq 1
   \]

2. **Menghitung limit fungsi batas:**
   - Untuk fungsi batas atas \( u(x) = 1 \), jelas bahwa:
     \[
     \lim_{x \to 0} u(x) = 1
     \]
   - Untuk fungsi batas bawah \( l(x) = 1 - x^2 \), kita dapat menghitung limitnya:
     \[
     \lim_{x \to 0} l(x) = \lim_{x \to 0} (1 - x^2) = 1
     \]

3. **Menggunakan Teorema Squeeze:**
   Karena:
   \[
   \lim_{x \to 0} l(x) = \lim_{x \to 0} u(x) = 1
   \]
   dan fungsi \( f(x) = \cos^2(x) \) terjepit antara \( l(x) \) dan \( u(x) \), maka menurut Teorema Squeeze, kita dapat menyimpulkan bahwa:
   \[
   \lim_{x \to 0} \cos^2(x) = 1
   \]

### Grafik:

Untuk memvisualisasikan fungsi-fungsi ini, mari kita gambarkan tiga kurva:
1. \( u(x) = 1 \), sebuah garis horizontal pada \( y = 1 \).
2. \( l(x) = 1 - x^2 \), sebuah parabola yang terbuka ke bawah.
3. \( f(x) = \cos^2(x) \), sebuah fungsi gelombang yang berosilasi antara 0 dan 1.

Sekarang kita bisa lihat dari grafik bahwa \( \cos^2(x) \) memang terjepit antara \( 1 - x^2 \) dan 1 di sekitar \( x = 0 \), yang mendukung hasil yang sudah kita hitung.

Apakah Anda ingin grafiknya atau ada pertanyaan lebih lanjut?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Apa itu Teorema Squeeze, dan kapan digunakan?
2. Bagaimana perilaku fungsi \( \cos(x) \) saat \( x \) mendekati 0?
3. Mengapa fungsi \( l(x) = 1 - x^2 \) dipilih sebagai batas bawah dalam Teorema Squeeze?
4. Apakah fungsi \( f(x) \) selalu berada di antara dua batas untuk semua \( x \)?
5. Bisakah Teorema Squeeze digunakan untuk fungsi dengan limit yang berbeda dari 0?

**Tip**: Dalam aplikasi limit, Teorema Squeeze sangat berguna untuk menangani limit fungsi kompleks yang sulit dievaluasi langsung.

Sketsakan fungsi u(x), l(x), dan f(x), yaitu u(x) = 1, l(x) = 1 - x^2, dan f(x) = cos^2(x). Gunakan grafik ini menggunakan Teorema Squeeze untuk menentukan lim x→0 f(x).

Learn how to use the Squeeze Theorem to find the limit of f(x) = cos^2(x) as x approaches 0. This solution involves analyzing the functions u(x) = 1, l(x) = 1 - x^2, and f(x) = cos^2(x) to determine the limit of f(x) using calculus. Suitable for advanced high school or undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation