Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan Teorema Squeeze (Teorema Jepit), yang menyatakan bahwa jika ada tiga fungsi $u(x)$, $f(x)$, dan $l(x)$ di mana $l(x) \leq f(x) \leq u(x)$ untuk semua $x$ dalam suatu interval, dan jika $\lim_{x \to x_0} l(x) = \lim_{x \to x_0} u(x) = L$, maka $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$.

Diketahui fungsi-fungsi berikut:

• $u(x) = 1$
• $l(x) = 1 - x^2$
• $f(x) = \cos^2(x)$

Langkah-langkah:

1. Membuat batasan fungsi: Kita ingin menentukan $\lim_{x \to 0} f(x)$. Dengan menggunakan Teorema Squeeze, kita harus memastikan bahwa fungsi $f(x)$ terjepit antara $u(x)$ dan $l(x)$.

   Dari sifat-sifat fungsi $\cos^2(x)$, kita tahu bahwa: $0 \leq \cos^2(x) \leq 1$ sehingga $f(x) = \cos^2(x)$ berada di antara $l(x)$ dan $u(x)$.

   Perhatikan bahwa: $1 - x^2 \leq \cos^2(x) \leq 1$

2. Menghitung limit fungsi batas:

   • Untuk fungsi batas atas $u(x) = 1$, jelas bahwa: $\lim_{x \to 0} u(x) = 1$
   • Untuk fungsi batas bawah $l(x) = 1 - x^2$, kita dapat menghitung limitnya: $\lim_{x \to 0} l(x) = \lim_{x \to 0} (1 - x^2) = 1$

3. Menggunakan Teorema Squeeze: Karena: $\lim_{x \to 0} l(x) = \lim_{x \to 0} u(x) = 1$ dan fungsi $f(x) = \cos^2(x)$ terjepit antara $l(x)$ dan $u(x)$, maka menurut Teorema Squeeze, kita dapat menyimpulkan bahwa: $\lim_{x \to 0} \cos^2(x) = 1$

Grafik:

Untuk memvisualisasikan fungsi-fungsi ini, mari kita gambarkan tiga kurva:

1. $u(x) = 1$, sebuah garis horizontal pada $y = 1$.
2. $l(x) = 1 - x^2$, sebuah parabola yang terbuka ke bawah.
3. $f(x) = \cos^2(x)$, sebuah fungsi gelombang yang berosilasi antara 0 dan 1.

Sekarang kita bisa lihat dari grafik bahwa $\cos^2(x)$ memang terjepit antara $1 - x^2$ dan 1 di sekitar $x = 0$, yang mendukung hasil yang sudah kita hitung.

Apakah Anda ingin grafiknya atau ada pertanyaan lebih lanjut?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Apa itu Teorema Squeeze, dan kapan digunakan?
2. Bagaimana perilaku fungsi $\cos(x)$ saat $x$ mendekati 0?
3. Mengapa fungsi $l(x) = 1 - x^2$ dipilih sebagai batas bawah dalam Teorema Squeeze?
4. Apakah fungsi $f(x)$ selalu berada di antara dua batas untuk semua $x$?
5. Bisakah Teorema Squeeze digunakan untuk fungsi dengan limit yang berbeda dari 0?

Tip: Dalam aplikasi limit, Teorema Squeeze sangat berguna untuk menangani limit fungsi kompleks yang sulit dievaluasi langsung.