6.

Sketsakan fungsi 𝑢(𝑥), 𝑙(𝑥), dan 𝑓(𝑥), yaitu

𝑢(𝑥) = 1,

𝑙(𝑥) = 1 − 𝑥

2

, dan

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠

2

𝑥.

Gunakan grafik ini menggunakan Teorema Squeeze untuk menentukan

𝑥 0

lim

→

𝑓(𝑥).

Teorema Squeeze (juga dikenal sebagai *Squeeze Theorem* atau *Sandwich Theorem*) digunakan untuk menemukan limit suatu fungsi yang sulit dihitung secara langsung dengan membatasi fungsi tersebut di antara dua fungsi lain yang limitnya lebih mudah dihitung.

Diberikan tiga fungsi:

1. \( u(x) = 1 \)
2. \( l(x) = 1 - x^2 \)
3. \( f(x) = \cos^2(x) \)

Kita ingin menggunakan Teorema Squeeze untuk menentukan \(\lim_{x \to 0} f(x)\).

### Langkah-langkah:

1. **Batasan Fungsi**: Kita perlu membandingkan fungsi \( f(x) = \cos^2(x) \) dengan \( u(x) \) dan \( l(x) \). Kita tahu bahwa:
   \[
   \cos^2(x) \leq 1 \quad \text{untuk semua} \ x
   \]
   Selain itu, untuk nilai \( x \) kecil, \( \cos^2(x) \geq 1 - x^2 \). Jadi, kita memiliki batasan:
   \[
   1 - x^2 \leq \cos^2(x) \leq 1
   \]
   Ini berarti fungsi \( f(x) \) dibatasi oleh \( u(x) \) dan \( l(x) \).

2. **Mencari Limit**:
   - Limit dari \( u(x) = 1 \) saat \( x \to 0 \) adalah:
     \[
     \lim_{x \to 0} u(x) = 1
     \]
   - Limit dari \( l(x) = 1 - x^2 \) saat \( x \to 0 \) adalah:
     \[
     \lim_{x \to 0} l(x) = 1
     \]
   - Berdasarkan Teorema Squeeze, karena \( 1 - x^2 \leq \cos^2(x) \leq 1 \), dan limit fungsi pembatas di kedua sisi adalah 1, maka:
     \[
     \lim_{x \to 0} \cos^2(x) = 1
     \]

### Kesimpulan:
Dengan menggunakan Teorema Squeeze, kita dapat menyimpulkan bahwa:
\[
\lim_{x \to 0} \cos^2(x) = 1
\]

### Sketsa Grafik:
- \( u(x) = 1 \) adalah garis horizontal.
- \( l(x) = 1 - x^2 \) adalah parabola yang terbuka ke bawah.
- \( f(x) = \cos^2(x) \) adalah fungsi bergelombang yang berada di antara dua fungsi pembatas.

Jika kamu tertarik, saya bisa membuatkan grafik dari fungsi-fungsi ini untuk memberikan visualisasi lebih jelas.

---

Apakah penjelasan ini cukup jelas atau ingin detail lebih lanjut? Berikut adalah 5 pertanyaan terkait yang mungkin dapat memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana Teorema Squeeze dapat digunakan dalam kasus-kasus limit lain?
2. Mengapa \( \cos^2(x) \) dibatasi antara \( 1 - x^2 \) dan 1 untuk \( x \) yang mendekati 0?
3. Bagaimana cara menghitung limit fungsi lain yang tidak berbentuk trigonometri?
4. Bagaimana peran grafik dalam memahami konsep limit dan Teorema Squeeze?
5. Apa perbedaan antara Teorema Squeeze dan teorema limit lainnya?

**Tip:** Saat menghadapi masalah limit yang kompleks, mencari fungsi pembatas yang lebih sederhana untuk diterapkan dengan Teorema Squeeze bisa sangat membantu!

Sketsakan fungsi u(x), l(x), dan f(x), yaitu u(x) = 1, l(x) = 1 − x^2, dan f(x) = cos^2(x). Gunakan grafik ini menggunakan Teorema Squeeze untuk menentukan lim x → 0 f(x).

This guide explains how to apply the Squeeze Theorem to find the limit of f(x) = cos^2(x) as x approaches 0. The solution involves bounding the function between u(x) = 1 and l(x) = 1 - x^2, showing that the limit of cos^2(x) is 1. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation