Math Problem Statement
реши задание по линейной алгебре. Найти спектр и собственные вектора оператора φ∈Hom(R^3,R^3) заданного своей матрицей в некотором базисе, если A φ=(21,10,10;-26,-14,-11;-24,-10,-13)Для каждого собственного числа на отдельной строке введите это собственное число, и набор соответствующих ему собственных векторов.
Solution
Задание состоит в нахождении спектра оператора , который задан матрицей:
21 & 10 & 10 \\ -26 & -14 & -11 \\ -24 & -10 & -13 \end{pmatrix}$$ ### Шаг 1: Нахождение собственных чисел (спектра) Собственные числа оператора $$\varphi$$ являются корнями характеристического уравнения: $$\det(A - \lambda I) = 0$$ где $$I$$ — единичная матрица, $$\lambda$$ — собственное число, а $$\det$$ — детерминант. Для матрицы $$A$$, характеристическое уравнение будет: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 21 - \lambda & 10 & 10 \\ -26 & -14 - \lambda & -11 \\ -24 & -10 & -13 - \lambda \end{pmatrix}$$ Теперь вычислим детерминант матрицы $$A - \lambda I$$: $$\det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 21 - \lambda & 10 & 10 \\ -26 & -14 - \lambda & -11 \\ -24 & -10 & -13 - \lambda \end{pmatrix}$$ После вычисления детерминанта получаем характеристическое уравнение для $$\lambda$$: $$\lambda^3 - (-6)\lambda^2 + 31\lambda - 48 = 0$$ Корни этого уравнения (собственные числа) находятся с помощью различных методов (например, методом подбора, деления на многочлен или численных методов). Для данной задачи собственные числа можно найти с помощью численных методов или калькуляторов для полиномов. ### Шаг 2: Нахождение собственных векторов После нахождения собственных чисел, для каждого из них нужно найти собственные векторы, решив систему линейных уравнений: $$(A - \lambda I) \mathbf{v} = 0$$ где $$\mathbf{v}$$ — собственный вектор, соответствующий собственному числу $$\lambda$$. Пожалуйста, подождите, я выполню необходимые вычисления для нахождения собственных чисел и собственных векторов. numpy as np # Define the matrix A A = np.array([[21, 10, 10], [-26, -14, -11], [-24, -10, -13]]) # Compute eigenvalues and eigenvectors eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A) # Return eigenvalues and eigenvectors eigenvalues, eigenvectorsСобственные числа матрицы $$A$$ следующие: $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -4, \quad \lambda_3 = -3$$ Соответствующие собственные векторы: 1. Для $$\lambda_1 = 1$$: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 0.577 \\ -0.577 \\ -0.577 \end{pmatrix}$$ 2. Для $$\lambda_2 = -4$$: $$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 0.485 \\ -0.727 \\ -0.485 \end{pmatrix}$$ 3. Для $$\lambda_3 = -3$$: $$\mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix} 0.000 \\ -0.707 \\ 0.707 \end{pmatrix}$$ ### Резюме: - Собственные числа: $$1, -4, -3$$. - Собственные векторы: - Для $$\lambda_1 = 1$$: $$\begin{pmatrix} 0.577 \\ -0.577 \\ -0.577 \end{pmatrix}$$ - Для $$\lambda_2 = -4$$: $$\begin{pmatrix} 0.485 \\ -0.727 \\ -0.485 \end{pmatrix}$$ - Для $$\lambda_3 = -3$$: $$\begin{pmatrix} 0.000 \\ -0.707 \\ 0.707 \end{pmatrix}$$ Если вам нужны дополнительные подробности или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать! ### Дополнительные вопросы: 1. Что такое спектр оператора в линейной алгебре? 2. Как связаны собственные числа и собственные векторы? 3. Что такое характеристическое уравнение? 4. Как решать систему линейных уравнений для нахождения собственных векторов? 5. Как проверить, что найденные собственные векторы действительно являются собственными? **Совет**: Собственные числа часто играют ключевую роль в анализе стабильности систем и решении дифференциальных уравнений!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Eigenvalues
Eigenvectors
Characteristic Equation
Matrix Operations
Formulas
det(A - λI) = 0
(A - λI)v = 0
Theorems
Spectral Theorem
Eigenvalue Decomposition
Suitable Grade Level
University Level
Related Recommendation
Spectral Decomposition of Linear Operator φ∈Hom(R3,R3) with Matrix Aφ
Basis Change Matrices and Eigenvalues Calculation in R^3
Matrix of Projection Operator for Eigenvalue λ = 2 in R4
Finding Eigenvectors of the Matrix [ 0 3 ; -3 0 ]
Finding Kernel, Image, and Diagonalization of Linear Transformations on R^3