Untuk mencari akar persamaan $x^2 - 4x + 3 = 0$ menggunakan metode simple fixed point iteration, kita harus mengubah persamaan kuadrat tersebut menjadi bentuk $x = g(x)$. Ada beberapa cara untuk melakukannya, tetapi hasil konvergensinya tergantung pada pilihan fungsi $g(x)$.

Langkah 1: Ubah persamaan menjadi bentuk $x = g(x)$

Kita bisa mengubah persamaan $x^2 - 4x + 3 = 0$ menjadi bentuk: $x = \frac{x^2 + 3}{4}$ Jadi kita dapat menggunakan fungsi iteratif $g(x) = \frac{x^2 + 3}{4}$.

Langkah 2: Tentukan nilai awal (tebakan awal)

Misalkan kita mulai dengan nilai tebakan awal $x_0 = 2$.

Langkah 3: Lakukan iterasi

Iterasi dengan rumus $x_{n+1} = g(x_n)$ hingga nilai $x_n$ mendekati nilai tetap (akar).

$x_{n+1} = \frac{x_n^2 + 3}{4}$

Mari hitung beberapa iterasi:

1. $x_0 = 2$
2. $x_1 = \frac{2^2 + 3}{4} = \frac{4 + 3}{4} = 1.75$
3. $x_2 = \frac{1.75^2 + 3}{4} = \frac{3.0625 + 3}{4} = 1.515625$
4. $x_3 = \frac{1.515625^2 + 3}{4} = \frac{2.2978515625 + 3}{4} = 1.574462890625$
5. $x_4 = \frac{1.574462890625^2 + 3}{4} = 1.5936689376831055$

Setelah beberapa iterasi, kita melihat bahwa nilai mendekati sekitar 1.5937.

Langkah 4: Akurasi dan Konvergensi

Nilai ini semakin mendekati akar dari persamaan $x^2 - 4x + 3 = 0$ setelah lebih banyak iterasi. Namun, nilai yang mendekati akar sangat bergantung pada seberapa baik fungsi $g(x)$ dipilih dan seberapa dekat tebakan awal.

Apakah Anda ingin melanjutkan perhitungan iterasi ini atau memiliki pertanyaan lebih lanjut?

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan fungsi $g(x)$ yang optimal untuk metode iterasi titik tetap?
2. Apakah ada syarat agar metode iterasi titik tetap konvergen?
3. Bagaimana cara mengukur kecepatan konvergensi metode iterasi?
4. Apakah metode lain selain fixed point iteration lebih efektif untuk mencari akar persamaan kuadrat?
5. Bagaimana metode iterasi ini diterapkan pada persamaan non-linear lainnya?

Tip:

Pilih tebakan awal yang dekat dengan akar sebenarnya untuk mempercepat konvergensi metode fixed point iteration.