Se sabe que 10 trabajadores tardan 30 días para hacer una obra. Comienzan a trabajar y al día siguiente renuncia uno. al siguiente otro, al tercer día otro, y así hasta el sexto día cuando quedan solo 5 trabajadores. ¿Cuánto tiempo tardarían para hacer el trabajo?

Para resolver este problema, primero debemos calcular la cantidad de trabajo que cada trabajador hace por día y luego ajustar el trabajo realizado a medida que los trabajadores renuncian.

### Paso 1: Trabajo total y capacidad de trabajo por día

1. **Trabajo total**: Si 10 trabajadores completan la obra en 30 días, el trabajo total se puede representar como \( W \) y la capacidad de trabajo diaria de los 10 trabajadores es:
   \[
   W = 10 \text{ trabajadores} \times 30 \text{ días} = 300 \text{ días-trabajador}
   \]
   
2. **Capacidad diaria de un trabajador**: La capacidad diaria de un trabajador es:
   \[
   \text{Capacidad diaria de un trabajador} = \frac{W}{300 \text{ días-trabajador}} = \frac{1}{30} \text{ trabajo por día}
   \]

### Paso 2: Cálculo del trabajo realizado día a día

Vamos a calcular el trabajo realizado día a día considerando las renuncias:

1. **Día 1**: 10 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 10 \times \frac{1}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}
   \]
2. **Día 2**: 9 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 9 \times \frac{1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}
   \]
3. **Día 3**: 8 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 8 \times \frac{1}{30} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}
   \]
4. **Día 4**: 7 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 7 \times \frac{1}{30} = \frac{7}{30} = \frac{7}{30}
   \]
5. **Día 5**: 6 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 6 \times \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}
   \]
6. **Día 6**: 5 trabajadores
   \[
   \text{Trabajo realizado} = 5 \times \frac{1}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}
   \]

### Paso 3: Trabajo total realizado en los primeros 6 días

Sumamos el trabajo realizado durante los primeros 6 días:
\[
\text{Trabajo total en 6 días} = \frac{1}{3} + \frac{3}{10} + \frac{4}{15} + \frac{7}{30} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}
\]

Primero, ponemos todos los términos bajo un común denominador:
\[
\text{MCM de } 3, 10, 15, 30, 5, 6 = 30
\]

Convertimos y sumamos:
\[
\frac{10}{30} + \frac{9}{30} + \frac{8}{30} + \frac{7}{30} + \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{45}{30} = 1.5
\]

### Paso 4: Trabajo restante

El trabajo restante después de 6 días es:
\[
W_{\text{restante}} = 10 - 1.5 = 8.5 \text{ días-trabajador}
\]

### Paso 5: Trabajo realizado por 5 trabajadores restantes

Finalmente, los 5 trabajadores restantes realizan el trabajo. Sabemos que 5 trabajadores realizan \( \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \) de trabajo por día.

El tiempo adicional necesario para completar el trabajo es:
\[
T_{\text{adicional}} = \frac{8.5}{\frac{1}{6}} = 8.5 \times 6 = 51 \text{ días}
\]

### Tiempo total

El tiempo total para completar el trabajo es:
\[
6 \text{ días} + 51 \text{ días} = 57 \text{ días}
\]

Por lo tanto, el tiempo total para completar el trabajo es de **57 días**.

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para profundizar más en el tema:

1. ¿Cómo se calculan los días-trabajador?
2. ¿Qué es el MCM y cómo se calcula?
3. ¿Qué otros métodos existen para resolver problemas similares?
4. ¿Cómo afectaría una diferente tasa de renuncias al tiempo total?
5. ¿Cómo se modelan matemáticamente los problemas de asignación de tareas?
6. ¿Cómo se puede aplicar esta metodología en problemas reales de gestión de proyectos?
7. ¿Qué es la eficiencia laboral y cómo se mide?
8. ¿Cómo se puede optimizar la planificación de recursos humanos en proyectos?

**Tip:** Al resolver problemas de trabajo y tiempo, asegúrate de convertir las unidades y sumar fracciones correctamente para obtener resultados precisos.

Explore the solution to a work and time problem where worker numbers change daily. Calculate the total time needed to complete the work after workers resign each day. Suitable for high school students studying work and time problems.

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