Anna funktio #»r (t) ja nopeusvektori #»v (t), kun tunnetaan kiihtyvyys #»a (t) sek¨a alkuarvot:
(i) #»a (t) = tbi + 2bj, #»v (0) = 2bi + bk ja #»r (0) = bj − 2bk.

Tehtävässä tunnetaan kiihtyvyysvektori, alkuarvot nopeudelle ja sijainnille, ja halutaan määrittää nopeus- ja sijaintivektorit ajan funktiona.

Annetut tiedot:
- Kiihtyvyys: \(\mathbf{a}(t) = t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}\)
- Nopeuden alkuarvo: \(\mathbf{v}(0) = 2\mathbf{i} + \mathbf{k}\)
- Paikan alkuarvo: \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{j} - 2\mathbf{k}\)

### 1. Nopeusvektori \(\mathbf{v}(t)\)
Nopeusvektori saadaan integroimalla kiihtyvyysvektori ajan suhteen:
\[
\mathbf{v}(t) = \int \mathbf{a}(t) \, dt
\]
Kiihtyvyysvektori on \(\mathbf{a}(t) = t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}\), joten integroidaan komponentit erikseen.

- \( \mathbf{i} \)-suunta:
  \[
  \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C_1
  \]
  
- \( \mathbf{j} \)-suunta:
  \[
  \int 2 \, dt = 2t + C_2
  \]

- \( \mathbf{k} \)-suunta:
  Kiihtyvyysvektorissa ei ole \( \mathbf{k} \)-komponenttia, joten:
  \[
  v_k(t) = C_3
  \]

Nyt nopeusvektori on muotoa:
\[
\mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + C_1 \right) \mathbf{i} + (2t + C_2) \mathbf{j} + C_3 \mathbf{k}
\]

Käytetään annettua alkuarvoa \(\mathbf{v}(0) = 2\mathbf{i} + \mathbf{k}\) vakioiden ratkaisemiseen:
- \( \mathbf{i} \)-suunta: \( \frac{0^2}{2} + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2 \)
- \( \mathbf{j} \)-suunta: \( 2(0) + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0 \)
- \( \mathbf{k} \)-suunta: \( C_3 = 1 \)

Joten nopeusvektori on:
\[
\mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + \mathbf{k}
\]

### 2. Paikkavektori \(\mathbf{r}(t)\)
Paikkavektori saadaan integroimalla nopeusvektori ajan suhteen:
\[
\mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t) \, dt
\]
Integroidaan komponentit erikseen.

- \( \mathbf{i} \)-suunta:
  \[
  \int \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) dt = \frac{t^3}{6} + 2t + D_1
  \]

- \( \mathbf{j} \)-suunta:
  \[
  \int 2t \, dt = t^2 + D_2
  \]

- \( \mathbf{k} \)-suunta:
  \[
  \int 1 \, dt = t + D_3
  \]

Nyt paikkavektori on muotoa:
\[
\mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t + D_1 \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + D_2 \right) \mathbf{j} + \left( t + D_3 \right) \mathbf{k}
\]

Käytetään annettua alkuarvoa \(\mathbf{r}(0) = \mathbf{j} - 2\mathbf{k}\) vakioiden ratkaisemiseen:
- \( \mathbf{i} \)-suunta: \( \frac{0^3}{6} + 2(0) + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = 0 \)
- \( \mathbf{j} \)-suunta: \( 0^2 + D_2 = 1 \Rightarrow D_2 = 1 \)
- \( \mathbf{k} \)-suunta: \( 0 + D_3 = -2 \Rightarrow D_3 = -2 \)

Joten paikkavektori on:
\[
\mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + 1 \right) \mathbf{j} + \left( t - 2 \right) \mathbf{k}
\]

### Yhteenveto
- Nopeusvektori:
  \[
  \mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + \mathbf{k}
  \]
- Paikkavektori:
  \[
  \mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + 1 \right) \mathbf{j} + \left( t - 2 \right) \mathbf{k}
  \]

Haluatko tarkempia lisätietoja jostain osasta?

### Liittyviä kysymyksiä:
1. Miten kiihtyvyyden vakio komponentti vaikuttaa nopeuden ja paikan laskentaan?
2. Kuinka määrittää paikka ilman alkuarvoja?
3. Miksi alkuarvot ovat tärkeitä liikeongelmissa?
4. Miten paikkavektorin suunta riippuu kiihtyvyydestä?
5. Mitä tapahtuu, jos kiihtyvyys ei riipu ajasta?

**Vinkki:** Kun integraaleja lasketaan alkuarvojen avulla, vakioiden arvoilla on merkittävä rooli lopputuloksen oikeellisuudessa.

Anna funktio r(t) ja nopeusvektori v(t), kun tunnetaan kiihtyvyys a(t) sekä alkuarvot:
(i) a(t) = tbi + 2bj, v(0) = 2bi + bk ja r(0) = bj − 2bk.

This detailed solution walks through the process of determining velocity and position vectors from a given acceleration function and initial conditions. The problem involves vector calculus, integrating acceleration to find velocity, and further integration to find position. Suitable for students in advanced high school math or undergraduate physics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation