Tehtävässä tunnetaan kiihtyvyysvektori, alkuarvot nopeudelle ja sijainnille, ja halutaan määrittää nopeus- ja sijaintivektorit ajan funktiona.

Annetut tiedot:

• Kiihtyvyys: $\mathbf{a}(t) = t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$
• Nopeuden alkuarvo: $\mathbf{v}(0) = 2\mathbf{i} + \mathbf{k}$
• Paikan alkuarvo: $\mathbf{r}(0) = \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$

1. Nopeusvektori $\mathbf{v}(t)$

Nopeusvektori saadaan integroimalla kiihtyvyysvektori ajan suhteen: $\mathbf{v}(t) = \int \mathbf{a}(t) \, dt$ Kiihtyvyysvektori on $\mathbf{a}(t) = t\mathbf{i} + 2\mathbf{j}$, joten integroidaan komponentit erikseen.

• $\mathbf{i}$-suunta: $\int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C_1$

• $\mathbf{j}$-suunta: $\int 2 \, dt = 2t + C_2$

• $\mathbf{k}$-suunta: Kiihtyvyysvektorissa ei ole $\mathbf{k}$-komponenttia, joten: $v_k(t) = C_3$

Nyt nopeusvektori on muotoa: $\mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + C_1 \right) \mathbf{i} + (2t + C_2) \mathbf{j} + C_3 \mathbf{k}$

Käytetään annettua alkuarvoa $\mathbf{v}(0) = 2\mathbf{i} + \mathbf{k}$ vakioiden ratkaisemiseen:

• $\mathbf{i}$-suunta: $\frac{0^2}{2} + C_1 = 2 \Rightarrow C_1 = 2$
• $\mathbf{j}$-suunta: $2(0) + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$
• $\mathbf{k}$-suunta: $C_3 = 1$

Joten nopeusvektori on: $\mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + \mathbf{k}$

2. Paikkavektori $\mathbf{r}(t)$

Paikkavektori saadaan integroimalla nopeusvektori ajan suhteen: $\mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t) \, dt$ Integroidaan komponentit erikseen.

• $\mathbf{i}$-suunta: $\int \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) dt = \frac{t^3}{6} + 2t + D_1$

• $\mathbf{j}$-suunta: $\int 2t \, dt = t^2 + D_2$

• $\mathbf{k}$-suunta: $\int 1 \, dt = t + D_3$

Nyt paikkavektori on muotoa: $\mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t + D_1 \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + D_2 \right) \mathbf{j} + \left( t + D_3 \right) \mathbf{k}$

Käytetään annettua alkuarvoa $\mathbf{r}(0) = \mathbf{j} - 2\mathbf{k}$ vakioiden ratkaisemiseen:

• $\mathbf{i}$-suunta: $\frac{0^3}{6} + 2(0) + D_1 = 0 \Rightarrow D_1 = 0$
• $\mathbf{j}$-suunta: $0^2 + D_2 = 1 \Rightarrow D_2 = 1$
• $\mathbf{k}$-suunta: $0 + D_3 = -2 \Rightarrow D_3 = -2$

Joten paikkavektori on: $\mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + 1 \right) \mathbf{j} + \left( t - 2 \right) \mathbf{k}$

Yhteenveto

• Nopeusvektori: $\mathbf{v}(t) = \left( \frac{t^2}{2} + 2 \right) \mathbf{i} + 2t \mathbf{j} + \mathbf{k}$
• Paikkavektori: $\mathbf{r}(t) = \left( \frac{t^3}{6} + 2t \right) \mathbf{i} + \left( t^2 + 1 \right) \mathbf{j} + \left( t - 2 \right) \mathbf{k}$

Haluatko tarkempia lisätietoja jostain osasta?

Liittyviä kysymyksiä:

1. Miten kiihtyvyyden vakio komponentti vaikuttaa nopeuden ja paikan laskentaan?
2. Kuinka määrittää paikka ilman alkuarvoja?
3. Miksi alkuarvot ovat tärkeitä liikeongelmissa?
4. Miten paikkavektorin suunta riippuu kiihtyvyydestä?
5. Mitä tapahtuu, jos kiihtyvyys ei riipu ajasta?

Vinkki: Kun integraaleja lasketaan alkuarvojen avulla, vakioiden arvoilla on merkittävä rooli lopputuloksen oikeellisuudessa.