برای حل این مسأله، ابتدا باید مقادیر $x$، $y$، و $z$ را پیدا کنیم که به ما کمک می‌کند عبارت $3y^2 + 4x^2 + 5z^2$ را محاسبه کنیم.

از معادلات داده شده:

1. $xy = 5$
2. $yz = 4$
3. $xz = 3$

مرحله اول: پیدا کردن رابطه بین $x$، $y$ و $z$

ما سه معادله داریم، که می‌توانیم از آن‌ها برای حل سیستم استفاده کنیم. یکی از روش‌ها، تقسیم کردن دو معادله است.

• از معادله اول و سوم: $\frac{xy}{xz} = \frac{5}{3}$ این به سادگی می‌شود: $\frac{y}{z} = \frac{5}{3}$ پس، می‌توانیم بنویسیم: $y = \frac{5}{3}z$

• حالا این را در معادله دوم جایگذاری می‌کنیم: $\left( \frac{5}{3}z \right)z = 4$ که می‌شود: $\frac{5}{3}z^2 = 4$ حالا، این معادله را حل می‌کنیم: $z^2 = \frac{4 \times 3}{5} = \frac{12}{5}$ بنابراین: $z = \sqrt{\frac{12}{5}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

مرحله دوم: پیدا کردن مقادیر $x$ و $y$

با استفاده از رابطه $z = \frac{2\sqrt{15}}{5}$، ابتدا $y$ را پیدا می‌کنیم: $y = \frac{5}{3}z = \frac{5}{3} \times \frac{2\sqrt{15}}{5} = \frac{2\sqrt{15}}{3}$

حالا برای پیدا کردن $x$ از معادله $xy = 5$: $x \times \frac{2\sqrt{15}}{3} = 5$ بنابراین: $x = \frac{5 \times 3}{2\sqrt{15}} = \frac{15}{2\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

مرحله سوم: محاسبه عبارت $3y^2 + 4x^2 + 5z^2$

حالا که مقادیر $x$، $y$، و $z$ را پیدا کرده‌ایم، می‌توانیم عبارت $3y^2 + 4x^2 + 5z^2$ را محاسبه کنیم:

• $y^2 = \left( \frac{2\sqrt{15}}{3} \right)^2 = \frac{4 \times 15}{9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$
• $x^2 = \left( \frac{\sqrt{15}}{2} \right)^2 = \frac{15}{4}$
• $z^2 = \left( \frac{2\sqrt{15}}{5} \right)^2 = \frac{4 \times 15}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$

پس عبارت $3y^2 + 4x^2 + 5z^2$ برابر می‌شود با: $3 \times \frac{20}{3} + 4 \times \frac{15}{4} + 5 \times \frac{12}{5}$ که ساده می‌شود به: $20 + 15 + 12 = 47$

نتیجه:

جواب نهایی $3y^2 + 4x^2 + 5z^2 = 47$.

اگر سوالی داشتید یا بخواهید جزئیات بیشتری را بررسی کنیم، بفرمایید.

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان از معادلات خطی دو مجهولی برای حل مسأله استفاده کرد؟
2. چه روش‌های دیگری برای حل سیستم معادلات غیر خطی وجود دارد؟
3. چگونه می‌توان به کمک معادلات هندسی یا گراف‌ها مسائل مشابه را حل کرد؟
4. تفاوت بین حل تحلیلی و عددی معادلات چیست؟
5. در چه مواقعی استفاده از روش‌های جایگذاری برای حل سیستم معادلات مفیدتر است؟

نکته:

گاهی اوقات برای حل معادلات غیر خطی، استفاده از تکنیک‌های مختلف مانند جایگذاری یا ضرب متقابل می‌تواند بسیار مفید باشد.