Math Problem Statement
Kerjakan soal linear algebra berikut menggunakan metode gauss Jordan: x + y - z = 7 x - y + 2z = 3 2x + y + z = 9
Solution
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode Gauss-Jordan:
1. \quad & x + y - z = 7 \\ 2. \quad & x - y + 2z = 3 \\ 3. \quad & 2x + y + z = 9 \end{aligned}$$ Langkah-langkah dalam metode Gauss-Jordan adalah membentuk matriks augmented, kemudian melakukan eliminasi baris untuk mendapatkan matriks eselon baris yang tereduksi. ### 1. Membentuk Matriks Augmented Matriks augmented dari sistem persamaan tersebut adalah: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 9 \\ \end{array}\right]$$ ### 2. Eliminasi Baris Langkah pertama adalah mengubah elemen-elemen di bawah elemen pivot pertama menjadi nol. - Baris 2 dikurangi Baris 1: $$R2 \leftarrow R2 - R1$$ - Baris 3 dikurangi 2 kali Baris 1: $$R3 \leftarrow R3 - 2R1$$ Hasilnya: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & -1 & 3 & -5 \\ \end{array}\right]$$ Langkah kedua, kita akan membuat elemen di bawah elemen pivot kedua menjadi nol. - Baris 3 dikurangi setengah dari Baris 2: $$R3 \leftarrow R3 - \frac{1}{2} R2$$ Hasilnya: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 0.5 & -3 \\ \end{array}\right]$$ Langkah ketiga, kita akan membuat elemen diagonal utama menjadi 1. Mulai dari baris terakhir: - Baris 3 dibagi 0.5: $$R3 \leftarrow \frac{1}{0.5} R3$$ Hasilnya: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 7 \\ 0 & -2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -6 \\ \end{array}\right]$$ ### 3. Substitusi Balik Sekarang kita gunakan eliminasi balik untuk membuat elemen-elemen di atas diagonal utama juga menjadi nol. - Baris 2 ditambah 3 kali Baris 3: $$R2 \leftarrow R2 + 3 R3$$ - Baris 1 ditambah Baris 3: $$R1 \leftarrow R1 + R3$$ Hasilnya: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 0 & -22 \\ 0 & 0 & 1 & -6 \\ \end{array}\right]$$ Langkah terakhir: - Baris 2 dibagi -2: $$R2 \leftarrow \frac{1}{-2} R2$$ - Baris 1 dikurangi Baris 2: $$R1 \leftarrow R1 - R2$$ Hasil akhir: $$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -10 \\ 0 & 1 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 1 & -6 \\ \end{array}\right]$$ ### 4. Solusi Dari hasil di atas, kita dapatkan solusi: $$x = -10, \quad y = 11, \quad z = -6$$ Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain? ### Pertanyaan tambahan: 1. Apa bedanya metode eliminasi Gauss dengan metode eliminasi Gauss-Jordan? 2. Bagaimana metode Gauss-Jordan mengatasi sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik? 3. Bisakah Anda menyelesaikan sistem ini dengan metode substitusi? Jika ya, bagaimana langkah-langkahnya? 4. Bagaimana kita bisa mendeteksi jika sistem persamaan ini memiliki solusi tak terbatas? 5. Apa yang terjadi jika ditemukan baris nol di matriks augmented selama eliminasi Gauss-Jordan? ### Tip: Ketika menggunakan metode Gauss-Jordan, selalu pastikan bahwa pivot-pivot di diagonal utama bernilai 1 untuk memudahkan perhitungan.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Gaussian Elimination
Gauss-Jordan Elimination
Formulas
Augmented Matrix
Row Operations
Gauss-Jordan Elimination
Theorems
Gauss-Jordan Elimination Theorem
Uniqueness of Reduced Row Echelon Form
Suitable Grade Level
College Level
Related Recommendation
Solving a System of Equations Using Gauss-Jordan Elimination
Solve Linear System Using Gauss-Jordan Elimination: x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, 2x + y + z = 9
Solve a System of Linear Equations Using Gauss-Jordan Elimination
Gauss-Jordan Row Reduction: Solve the System of Equations
Solve a System of Equations Using Gauss-Jordan Method