Kerjakan soal linear algebra berikut menggunakan metode gauss Jordan:
x + y - z = 7
x - y + 2z = 3
2x + y + z = 9

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode **Gauss-Jordan**:

\[
\begin{aligned}
1. \quad & x + y - z = 7 \\
2. \quad & x - y + 2z = 3 \\
3. \quad & 2x + y + z = 9
\end{aligned}
\]

Langkah-langkah dalam metode Gauss-Jordan adalah membentuk matriks augmented, kemudian melakukan eliminasi baris untuk mendapatkan matriks eselon baris yang tereduksi.

### 1. Membentuk Matriks Augmented
Matriks augmented dari sistem persamaan tersebut adalah:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 7 \\
1 & -1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 1 & 9 \\
\end{array}\right]
\]

### 2. Eliminasi Baris
Langkah pertama adalah mengubah elemen-elemen di bawah elemen pivot pertama menjadi nol.

- Baris 2 dikurangi Baris 1: \( R2 \leftarrow R2 - R1 \)
- Baris 3 dikurangi 2 kali Baris 1: \( R3 \leftarrow R3 - 2R1 \)

Hasilnya:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 7 \\
0 & -2 & 3 & -4 \\
0 & -1 & 3 & -5 \\
\end{array}\right]
\]

Langkah kedua, kita akan membuat elemen di bawah elemen pivot kedua menjadi nol.

- Baris 3 dikurangi setengah dari Baris 2: \( R3 \leftarrow R3 - \frac{1}{2} R2 \)

Hasilnya:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 7 \\
0 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 0.5 & -3 \\
\end{array}\right]
\]

Langkah ketiga, kita akan membuat elemen diagonal utama menjadi 1. Mulai dari baris terakhir:

- Baris 3 dibagi 0.5: \( R3 \leftarrow \frac{1}{0.5} R3 \)

Hasilnya:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -1 & 7 \\
0 & -2 & 3 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -6 \\
\end{array}\right]
\]

### 3. Substitusi Balik
Sekarang kita gunakan eliminasi balik untuk membuat elemen-elemen di atas diagonal utama juga menjadi nol.

- Baris 2 ditambah 3 kali Baris 3: \( R2 \leftarrow R2 + 3 R3 \)
- Baris 1 ditambah Baris 3: \( R1 \leftarrow R1 + R3 \)

Hasilnya:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -2 & 0 & -22 \\
0 & 0 & 1 & -6 \\
\end{array}\right]
\]

Langkah terakhir:

- Baris 2 dibagi -2: \( R2 \leftarrow \frac{1}{-2} R2 \)
- Baris 1 dikurangi Baris 2: \( R1 \leftarrow R1 - R2 \)

Hasil akhir:

\[
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & -10 \\
0 & 1 & 0 & 11 \\
0 & 0 & 1 & -6 \\
\end{array}\right]
\]

### 4. Solusi
Dari hasil di atas, kita dapatkan solusi:

\[
x = -10, \quad y = 11, \quad z = -6
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lain?

### Pertanyaan tambahan:
1. Apa bedanya metode eliminasi Gauss dengan metode eliminasi Gauss-Jordan?
2. Bagaimana metode Gauss-Jordan mengatasi sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik?
3. Bisakah Anda menyelesaikan sistem ini dengan metode substitusi? Jika ya, bagaimana langkah-langkahnya?
4. Bagaimana kita bisa mendeteksi jika sistem persamaan ini memiliki solusi tak terbatas?
5. Apa yang terjadi jika ditemukan baris nol di matriks augmented selama eliminasi Gauss-Jordan?

### Tip:
Ketika menggunakan metode Gauss-Jordan, selalu pastikan bahwa pivot-pivot di diagonal utama bernilai 1 untuk memudahkan perhitungan.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gauss-Jordan elimination method. This tutorial covers the step-by-step process of transforming the augmented matrix into its reduced row echelon form to find the solution for x, y, and z in the system: x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, 2x + y + z = 9. Suitable for college-level students studying linear algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation