Kerjakan soal linear algebra berikut menggunakan metode eliminasi gauss Jordan:
x + y - z = 7
x - y + 2z = 3
2x + y + z = 9

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan:

\[
\begin{aligned}
x + y - z &= 7 \\
x - y + 2z &= 3 \\
2x + y + z &= 9
\end{aligned}
\]

Langkah 1: Representasikan sistem dalam bentuk matriks augmented:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
1 & -1 & 2 & | & 3 \\
2 & 1 & 1 & | & 9
\end{pmatrix}
\]

Langkah 2: Terapkan operasi baris elementer untuk mencapai bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form).

1. Eliminasi elemen-elemen di bawah pivot pertama (baris 1 kolom 1):

R2 = R2 - R1:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & -2 & 3 & | & -4 \\
2 & 1 & 1 & | & 9
\end{pmatrix}
\]

R3 = R3 - 2*R1:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & -2 & 3 & | & -4 \\
0 & -1 & 3 & | & -5
\end{pmatrix}
\]

Langkah 3: Normalisasi baris kedua dan eliminasi elemen di atas dan di bawah pivot kedua (baris 2 kolom 2).

R2 = R2 / (-2):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & 2 \\
0 & -1 & 3 & | & -5
\end{pmatrix}
\]

R1 = R1 - R2:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{2} & | & 5 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & 2 \\
0 & -1 & 3 & | & -5
\end{pmatrix}
\]

R3 = R3 + R2:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{2} & | & 5 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & 2 \\
0 & 0 & \frac{3}{2} & | & -3
\end{pmatrix}
\]

Langkah 4: Normalisasi baris ketiga dan eliminasi elemen di atas pivot ketiga.

R3 = R3 * (2/3):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{2} & | & 5 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{pmatrix}
\]

R1 = R1 - \(\frac{1}{2}\) * R3:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 6 \\
0 & 1 & -\frac{3}{2} & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{pmatrix}
\]

R2 = R2 + \(\frac{3}{2}\) * R3:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 6 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{pmatrix}
\]

Solusi sistem adalah:
\[
x = 6, \quad y = -1, \quad z = -2
\]

Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah \(x = 6\), \(y = -1\), dan \(z = -2\).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan? 

Berikut adalah 5 soal terkait untuk dipertimbangkan:
1. Bagaimana cara membentuk matriks augmented dari sistem persamaan linear?
2. Apa perbedaan antara metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan?
3. Bagaimana cara mengidentifikasi jika sistem persamaan tidak memiliki solusi?
4. Apa itu pivot dalam metode eliminasi Gauss-Jordan?
5. Bagaimana cara menggunakan operasi baris elementer dalam menyederhanakan matriks?

**Tip:** Selalu pastikan bahwa langkah-langkah eliminasi Anda menghasilkan baris identitas (pivot) untuk solusi yang akurat.

Kerjakan soal linear algebra berikut menggunakan metode eliminasi gauss Jordan: x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, 2x + y + z = 9

Learn how to solve the linear system of equations using the Gauss-Jordan elimination method: x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, 2x + y + z = 9. This step-by-step guide covers key linear algebra concepts, including augmented matrices and row operations, perfect for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation