{(2x+y=-10),(x-3y=2):} por metodo de sustitucion, igualacion y reduccion

Vamos a resolver el sistema de ecuaciones

\[
\begin{cases}
2x + y = -10 \\
x - 3y = 2
\end{cases}
\]

usando los métodos de sustitución, igualación y reducción.

### 1. Método de Sustitución

**Paso 1:** Despejamos una variable en una de las ecuaciones. Despejamos \( y \) en la primera ecuación:

\[
y = -10 - 2x
\]

**Paso 2:** Sustituimos la expresión de \( y \) en la segunda ecuación:

\[
x - 3(-10 - 2x) = 2
\]

**Paso 3:** Simplificamos y resolvemos para \( x \):

\[
x + 30 + 6x = 2
\]
\[
7x = 2 - 30
\]
\[
7x = -28
\]
\[
x = -4
\]

**Paso 4:** Sustituimos \( x = -4 \) en la expresión despejada de \( y \):

\[
y = -10 - 2(-4) = -10 + 8 = -2
\]

**Solución:** \( x = -4 \) y \( y = -2 \).

---

### 2. Método de Igualación

**Paso 1:** Despejamos la misma variable (en este caso, \( y \)) en ambas ecuaciones:

De la primera ecuación:
\[
y = -10 - 2x
\]

De la segunda ecuación:
\[
3y = x - 2 \quad \text{o} \quad y = \frac{x - 2}{3}
\]

**Paso 2:** Igualamos las dos expresiones de \( y \):

\[
-10 - 2x = \frac{x - 2}{3}
\]

**Paso 3:** Eliminamos el denominador multiplicando por 3:

\[
3(-10 - 2x) = x - 2
\]
\[
-30 - 6x = x - 2
\]

**Paso 4:** Resolvemos para \( x \):

\[
-6x - x = -2 + 30
\]
\[
-7x = 28
\]
\[
x = -4
\]

**Paso 5:** Sustituimos \( x = -4 \) en una de las expresiones despejadas para \( y \):

\[
y = -10 - 2(-4) = -2
\]

**Solución:** \( x = -4 \) y \( y = -2 \).

---

### 3. Método de Reducción

**Paso 1:** Multiplicamos una o ambas ecuaciones para que al sumar o restar, se elimine una variable. Multiplicamos la segunda ecuación por 2:

\[
\begin{cases}
2x + y = -10 \\
2(x - 3y) = 2(2) \Rightarrow 2x - 6y = 4
\end{cases}
\]

**Paso 2:** Restamos las ecuaciones para eliminar \( x \):

\[
(2x + y) - (2x - 6y) = -10 - 4
\]
\[
7y = -14
\]
\[
y = -2
\]

**Paso 3:** Sustituimos \( y = -2 \) en una de las ecuaciones originales:

\[
2x + (-2) = -10
\]
\[
2x = -8 \quad \Rightarrow \quad x = -4
\]

**Solución:** \( x = -4 \) y \( y = -2 \).

---

La solución del sistema por los tres métodos es:

\[
\boxed{x = -4, \, y = -2}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿En qué situaciones es más eficiente usar el método de sustitución?
2. ¿Cómo se verifica si una solución es correcta en un sistema de ecuaciones?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un sistema compatible determinado e indeterminado?
4. ¿Qué sucede si las ecuaciones son paralelas y no se cortan?
5. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales con más de dos variables?

**Tip**: Siempre verifica la solución final sustituyendo los valores en las ecuaciones originales para asegurarte de que sean correctos.

Explore how to solve a system of linear equations using methods of substitution, elimination, and reduction. This problem covers fundamental algebraic concepts and methods for solving systems of equations, including detailed step-by-step solutions. Suitable for high school students in Grades 9-12.

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