Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$\text{Ecuación 1: } x - 2y + 3z = 1$ $\text{Ecuación 2: } x + 2y - z = 13$ $\text{Ecuación 3: } 3x + 2y - 5z = 3$

Vamos a resolverlo utilizando el método de sustitución o de eliminación. Empezaré por el método de eliminación.

Paso 1: Eliminar una variable

Primero, vamos a sumar la Ecuación 1 y la Ecuación 2 para eliminar $y$.

$(x - 2y + 3z) + (x + 2y - z) = 1 + 13$ $2x + 2z = 14$ Dividiendo todo entre 2: $x + z = 7 \quad \text{(Ecuación 4)}$

Paso 2: Eliminar la misma variable en otra combinación

Ahora, vamos a combinar la Ecuación 2 y la Ecuación 3 para eliminar $y$. Multiplicamos la Ecuación 2 por 3 y luego restamos la Ecuación 3.

$3(x + 2y - z) = 3(13)$ $3x + 6y - 3z = 39$ Restamos la Ecuación 3: $(3x + 6y - 3z) - (3x + 2y - 5z) = 39 - 3$ $4y + 2z = 36$ Dividiendo todo entre 2: $2y + z = 18 \quad \text{(Ecuación 5)}$

Paso 3: Resolver el sistema reducido

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

1. $x + z = 7$
2. $2y + z = 18$

Vamos a resolverlo. De la Ecuación 4, despejamos $x$: $x = 7 - z$

De la Ecuación 5, despejamos $y$: $y = \frac{18 - z}{2}$

Paso 4: Sustitución en la Ecuación 1

Sustituyendo $x = 7 - z$ y $y = \frac{18 - z}{2}$ en la Ecuación 1: $(7 - z) - 2\left(\frac{18 - z}{2}\right) + 3z = 1$ Simplificando: $7 - z - (18 - z) + 3z = 1$ $7 - z - 18 + z + 3z = 1$ $-11 + 3z = 1$ $3z = 12$ $z = 4$

Paso 5: Obtener $x$ y $y$

Ahora que tenemos $z = 4$, sustituimos en las expresiones de $x$ y $y$.

Para $x$: $x = 7 - 4 = 3$

Para $y$: $y = \frac{18 - 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Solución final:

La solución del sistema es: $x = 3, \quad y = 7, \quad z = 4$

Tipo de solución: Única solución (sistema consistente y determinado).

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¿Te gustaría más detalle sobre alguno de los pasos o tienes alguna pregunta? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se utiliza el método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones lineales?
2. ¿Qué significa que un sistema sea consistente y determinado?
3. ¿Qué ocurriría si el sistema tuviera soluciones infinitas o ninguna solución?
4. ¿Cómo se aplican las matrices en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cómo verificar que una solución es correcta sustituyéndola en las ecuaciones originales?

Tip: Al resolver sistemas de ecuaciones lineales, es útil primero intentar eliminar las variables de forma que obtengas un sistema más pequeño y fácil de manejar.