Kerjakan soal linear algebra berikut menggunakan metode gauss:
x + y - z = 7
x - y + 2z = 3
2x + y + z = 9

Kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut menggunakan metode eliminasi Gauss:

\[
\begin{align*}
1. & \quad x + y - z = 7 \\
2. & \quad x - y + 2z = 3 \\
3. & \quad 2x + y + z = 9
\end{align*}
\]

Langkah-langkah metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut:

### Langkah 1: Tuliskan dalam bentuk matriks augmented
Kita tuliskan sistem persamaan di atas dalam bentuk matriks augmented:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
1 & -1 & 2 & | & 3 \\
2 & 1 & 1 & | & 9
\end{bmatrix}
\]

### Langkah 2: Eliminasi elemen di bawah pivot pertama
Kita mulai dengan membuat nol pada elemen-elemen di bawah pivot di baris pertama. Untuk itu, kita bisa melakukan operasi baris:

- B2 (baris 2) = B2 - B1
- B3 (baris 3) = B3 - 2B1

Sehingga hasilnya:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & -2 & 3 & | & -4 \\
0 & -1 & 3 & | & -5
\end{bmatrix}
\]

### Langkah 3: Eliminasi elemen di bawah pivot kedua
Sekarang kita membuat nol elemen di bawah pivot di kolom kedua. Kita lakukan operasi baris:

- B3 = B3 - \(\frac{1}{2}\) B2

Sehingga kita peroleh:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & -2 & 3 & | & -4 \\
0 & 0 & \frac{3}{2} & | & -3
\end{bmatrix}
\]

### Langkah 4: Membuat bentuk eselon tereduksi
Sekarang, kita buat elemen pivot menjadi 1:

- B3 = B3 \(\times\) \(\frac{2}{3}\)

Sehingga hasilnya:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 7 \\
0 & -2 & 3 & | & -4 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{bmatrix}
\]

Selanjutnya, kita eliminasi elemen-elemen di atas pivot ketiga (kolom ke-3):

- B2 = B2 - 3B3
- B1 = B1 + B3

Sehingga hasil akhirnya:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & | & 5 \\
0 & -2 & 0 & | & 2 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{bmatrix}
\]

Terakhir, kita buat elemen pivot kedua menjadi 1:

- B2 = B2 \(\div\) (-2)

\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & | & 5 \\
0 & 1 & 0 & | & -1 \\
0 & 0 & 1 & | & -2
\end{bmatrix}
\]

### Langkah 5: Back-substitution
Sekarang kita sudah dalam bentuk eselon tereduksi, kita bisa menyelesaikan dengan substitusi balik:

\[
z = -2
\]
\[
y = -1
\]
\[
x = 5 - y = 5 - (-1) = 6
\]

Jadi, solusi dari sistem persamaan adalah:

\[
x = 6, \quad y = -1, \quad z = -2
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau ada pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana metode Gauss berbeda dengan metode Gauss-Jordan?
2. Apakah ada metode lain yang lebih efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan ini?
3. Bagaimana cara mendeteksi jika sistem persamaan tidak memiliki solusi?
4. Apa peran pivot dalam metode eliminasi Gauss?
5. Bagaimana mengaplikasikan metode Gauss untuk sistem persamaan yang memiliki lebih banyak variabel?

**Tip:** Saat menggunakan metode eliminasi Gauss, selalu periksa apakah pivot bisa menjadi nol, karena ini menunjukkan kemungkinan adanya solusi tak hingga atau tak ada solusi.

Learn how to solve a system of linear equations using the Gaussian Elimination method. This problem involves solving equations such as x + y - z = 7, x - y + 2z = 3, and 2x + y + z = 9. Detailed steps include forming augmented matrices, row operations, and back-substitution. Suitable for advanced high school or undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation